石室中学高2015届“一诊”模拟考试

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 总分 150分

选择题（第题5分，共50分）

1.已知集合
，集合
，则集合
（）

A.
B.
C.
D.

2.已知
均为单位向量，且它们的夹角为
，那么
（）

A.1 B.
C.
D.

3.设
，
是虚数学单位，则 “
”是“复数
为纯虚数”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出
的值是（）

A．21 B．26 C．30 D．55

5．已知
是平面，
是直线，则下列命题不正确的是（）

A．若
则
B．若
则

C．若
则

D．若
，则

6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）

A．

B．

C.

D.

7．函数
的一个极值点在区间
内，则实数
的取值范围是（）

A．
B．
C．
D．

8．将标号为
的
个小球放入
个不同的盒子中，若每个盒子放
个，其中标为
的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（）

A．12种 B．16种 C．18种 D．36种

9．点
为椭圆
的一个焦点，若椭圆上存在点
使
为正三角形，那么椭圆的离心率为（）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，设方程
的四个实根从小到大依次为
，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（）

（1）
；（2）
；

（3）
；（4）
。

A．3 B．2 C．1 D．0

第II卷（非选择题，共100分）

填空题（第题5分，共25分）

11．若
，且
为第三象限角，则
。

12．
的展开式中，
的系数是。（用数字作答）

13．函数
的图象恒过定点
，若点
在直线
上，则
的最上值为。

14．点
在函数
的图象上，点
在函数
的图象上，则
的最小值为。

15．正方体
为棱长为1，动点
分别在棱
上，过点
的平面截该正方体所得的截面记为
，设
其中
，下列命题正确的是

（写出所有正确命题的编号）

①当
时，
为矩形，其面积最大为1；

②当
时，
为等腰梯形；

③当
时，设
与棱
的交点为
，则
；

④当
时，以
为顶点，
为底面的棱锥的体积为定值
。

解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）

16．设
的内角
所对的边分别为
，已知
，

（I）求
的周长；（II）求
的值。

17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5



x

169

178

166

175

180



y

75

80

77

70

81



（I）当产品中微量元素
满足
时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（II）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）。

18．正项等差数列
中，已知
，且
构成等数列
的前三项。

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和
。

19．如图，在四棱锥
中，四边形
是边长为1的菱形，且
，
，
分别是
的中点。

（I）证明：
；

（II）求二面角
的余弦值。

20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为
，且
，点
在该椭圆上。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过
的直线
与椭圆C相交于
两点，若
的内切圆半径为
，求以
为圆心且与直线
相切的圆的方程。

21．已知函数
，
。

（I）求函数
的单调区间；

（II）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的最小值；

（III）若存在
，（
是自然对数的底数）使
，求实数
的取值范围。