一、选择题 本题共 8小题，每个小题5分，共40分。

1．已知集合
，则
( )

2.下列函数中，在区间
上为增函数的是（ ）

3..命题：
；命题：
，
，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （ ）

A．
B.

C．

D．

5.已知一元二次不等式
的解集为
,则
的解集为 （　　）

A．
B．

C．
D．

6.函数
的图象大致是（）

7. 已知不等式组
表示的平面区域的面积等于，则的值为（ ）

A．-1 B. C.2 D.

8.已知函数
满足
，当
时，
，若在区间
上方程
有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．



二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分

9. 已知
，则
的大小关系为___________.

10. 在
中，
，
，
，则
；
.

11. 已知﹛
﹜等差数列
为其前n项和.若
=
，
=
，则
= ；Sn=

12.函数
的最大值是______________

13.如图，已知点
,点
在曲线
上，若阴影部分面积与△
面积相等时，则
．

14、定义在上的函数
，如果存在函数
（
为常数），使得
对一切实数都成立，则称
为函数
的一个承托函数．给出如下命题： ①函数
是函数
的一个承托函数；

②函数
是函数
的一个承托函数；

③若函数
是函数
的一个承托函数，则的取值范围是
；

④值域是的函数
不存在承托函数；

其中，所有正确命题的序号是 ．

三、解答题，本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分12分）

已知
,
.
求下列式子的值

(1)
； (2)
（3）

16．（本小题满分13分）

已知函数

.

（Ⅰ）求
的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最值.

17．（本小题满分13分）

已知函数
在
处取得极值。

（1）讨论
和
是函数
的极大值还是极小值；

（2）过点
作曲线
的切线，求此切线方程。

18.（本小题满分14分）已知
，函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）求证：对于任意的
，都有
.

19.（本小题满分14分）

某民营企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图①；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.

（1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；

该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

20. （本小题满分14分）已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2

（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；

（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+
是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

高三期中数学参考答案及评分标准 （理科）

三、解答题（共6小题，共80分）

15（本小题满分12分）

（1）∵
，
,

∴

∴
……………4分

（2）
=
……………8分

（3）∵
∴
……………10分

∴
……………………12分

16（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
得
(
Z)，

故
的定义域为
R

Z}．…………………2分

因为

，………………………………6分

所以
的最小正周期
．…………………7分

（II）由
…………..9分

当
，…………….11分

当
.……………….13分

17（本小题满分13分）

（1）解：
，依题意，
，即

解得
。（注：若只求
要检验零点左右的单调性）

∴
。

令
，得
。

若
，则
，故

在
上是增函数，

在
上也是增函数。

若
，则
，故

在
上是减函数。

所以，
是极大值；
是极小值。（比较简单，不必列表）

（2）（注：函数对应曲线的切线，必有切点！区别“在”与“过”）

解：曲线方程为
，点
不在曲线上。

设切点为
，则点M的坐标满足
。

因
，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

化简得
，解得
。

所以，切点为
，切线方程为
。

（18）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）函数
的定义域为,
，

因为
，所以，当
，或
时，
；

当
时，
．

所以，
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
．……6分

（Ⅱ）因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

又
，
，

所以，当
时，
．

由
，可得
．

所以当
时，函数
在区间
上是增函数，

所以，当
时，
．

所以，当
时，

对于任意的
，都有
，
，所以
．

当
时，函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，

所以，当
时，
．

所以，当
时，

对于任意的
，都有
，
，所以
．

综上，对于任意的
，都有
． ……………14分

（19）（本小题满分14分）

（1）据题意，产品的利润函数可设为
，