云南师大附中2015届高考适应性月考卷（二）

理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由
，
，所以
，故选C.

2．由
，则
，其对应点为
，在第一象限，故选A.

3．由
为等差数列，故而
，又
，故选D.

6．如图1所示，由椭圆的第一定义知，
，

又有
，故而
，
，而

，所以
，

故
为
，则
，

故选B.

7．由于
、
串联，故其能通过电流的概率为0.81，

则
、
不能通过电流的概率为
，

由
、
串联后与
并联，如图2，故
之

间能通过电流的概率为
，又由于电路再与
串联，故而电流能在
之间通过的概率是
，故选B.

8．由双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则
，由点到线的距离公式可知焦点
到双曲线渐近线
的距离
，所以
，故而
，故其离心率
，故选C.

9．由题意知，
，令
，则
，故而
，

解之得：
，故选A.

10．由题意可知该三棱锥为如图3所示的边长为1的正方体中以

为顶点的正四面体，故而其体积
，故选C.

11．由
，则函数
为上的增函数. 由于
，则
，
，
，而
，则
最大，故选D.

12．必要条件，若
是锐角三角形，则
，
，所以
，必要性成立；

充分条件，由
，即
有意义，
不是直角三角形. 又在
中，由
，得：
，所以

，由
，

则
，所以
是锐角三角形，故选B.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．由
，得
，即
，

所以
，解得
.

14．
满足的线性区域如图4阴影部分所示，

，由两点间距离公式知，

的最小值的几何意义是点
到阴影区域

中点的最小距离的平方，如图可知点
到阴影区域

的最小距离为点
到直线
的距离d，

故
，所以
.

15．经观察可知，由两位的“和谐数”有9个，而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增加0至9中任意一个数，故而三位的“和谐数”有
个，而四位的“和谐数”相当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次，则四位的“和谐数”有90个；同理，五位的“和谐数”有
个，六位的“和谐数”有900个，七位的“和谐数”有
个，八位的“和谐数”有9000个.

16．记三个球心分别是
，
，
，球与桌面的切点为，

反过来看图，由题意可知：三棱锥
是以为顶点

为底面的正三棱锥，三棱锥
是以为顶点

为底面的正三棱锥. 如图5所示，记为底面

的中心，则
三点共线且
垂直底面
，由题意知
，

，
，设球的半径为，则
，

，有
，即
，

解得
，所以球的半径为1．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图6，取
的中点，

因为
为等边三角形，所以
，

又因为侧面
底面ABCD，所以
平面
，

如图6，以为坐标原点，
所在直线为轴，过点与

平行的直线为轴，直线
为轴，建立空间直角坐标系，

则
，
，
，
，

所以
，
，
，

则
，即
. ………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：因为
，
，所以
，

又
，所以
，

又平面
的一个法向量
，直线
与平面
所成角为
.

，所以
，

所以
，则
或
（舍）.

当
时，直线DF与平面
所成角为
. …………………………（12分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是
、
，

由题意知，
的可能取值为
，由题意可知

，

，

，

，

，

所以
的分布列为：





























……………………………………………………………………（12分）

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设其为.

①当
时，
，所以
；

②当
时，则直线的方程为
，

联立
消去并整理得：
，

由Δ
，得
，

设
，
，
，则
．

因为
，所以
，

所以
，

．

因为点在椭圆上，所以
，

解得
，

由于
，故而
，所以
，

综合①②可知，
. ……………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由题意知，
，所以
，

．　

①当
时，恒有
，故
在
上是增函数；

②当
时，令
，得
，解得
，

令
，得
，解得
.

综上所述，当
时，
在
上单调递增；

当
时，
在
上单调递增；在
上单调递减.

………………………………………………………………………（5分）

22．（本小题满分10分）【选修4?1：几何证明选讲】

证明：（Ⅰ）如图7，连接DG，AB，

∵AD为⊙
的直径，

∴
，

在⊙O中，
，

∴AC为⊙O的直径. …………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）∵
，∴
，

∵点G为弧BD的中点，∴
，

在⊙O中，
，∴
，

∴
. …………………………………………………………（10分）

24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】

证明：（Ⅰ）因为
，

则
，
，

所以
，

当且仅当
时，取等号． …………………………………………（5分）

（Ⅱ）由柯西不等式知：
，

即
，所以
，

当且仅当
时取等号. …………………………………………（10分）