第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知复数
，则它的共轭复数等于 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

3．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是 （ ）

（B）

（C）

（D）

若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

5.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( )（A）
（B）
（C）
（D）

6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有( )

（A）14种 （B）28种 （C）32种 （D）48种

7．若把函数
（
）的图象向左平移
个单位后与函数
的图象重合，则的值可能是 ( )（A）
（B）
（C）
（D）

8.双曲线
的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于轴，则双曲线的离心率为 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

9.设
，若
，则
的最大值为 ( )

（A）
（B）2 （C）
（D） 3

10.已知
是周期为的函数，当x（
）时，
设
则 ( )

（A）c

已知点
在直线
上移动，当
取得最小值时，过点
引圆
的切线，则此切线长为 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

12. 已知函数
，把函数
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和
,则
＝ ( )

（A）
（B）
（C）55 （D）45

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若实数、满足
且
的最小值为3，则实数
=

14．
的展开式中一次项的系数为
,则
的系数为

15．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝，将此结论类比到空间有________________________

16．给出以下四个命题：①若函数
的图象关于点
对称，则的值为
；

②若
，则函数
是以4为周期的周期函数；③在数列
中，
，
是其前项和，且满足
，则数列
是等比数列； ④函数
的最小值为2．则正确命题的序号是 。

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17（本小题满分12分）

已知数列

（I）求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（II）令
， 求数列
的前项和
.

（本小题满分12分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。

（I）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；

（II）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？

（III）在（II）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为
，求
的分布列和数学期望．

20. （本小题满分12分）

已知
垂直平分线与
交于Q点.

（I）求Q点的轨迹方程；

（II）已知点 A（-2,0）， 过点
且斜率为
（
）的直线
与Q点的轨迹相交于
两点，直线
，
分别交直线
于点
,
，线段
的中点为，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.

（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）若曲线
在
处的切线为
，求的值；

（II）设

，
，证明：当
时，
的图象始终在
的图象的下方；

（III）当
时，设
，（为自然对数的底数），
表示
导函数，求证：对于曲线上的不同两点
，
，
，存在唯一的

，使直线
的斜率等于
．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

切线
与圆切于点，圆内有一点满足
，
的平分线
交圆于，，延长
交圆于，延长
交圆于，连接
．

（Ⅰ）证明：
//
； （Ⅱ）求证：
．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点
为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为（1，－5），点
的极坐标为（4，
），若直线
过点，且倾斜角为
，圆
以
为圆心，4为半径.

（Ⅰ）求直线
的参数方程和圆
的极坐标方程；

（II）试判定直线
与圆
的位置关系.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）对于任意的
，不等式
恒成立，求的取值范围．

数学（理科）答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

D

C

D

A

C

A

B

C

A

D



二、填空题：

13．9/4； 14．39； 15．在三棱锥A—BCD中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝ 16①,②

三、解答题：

17.

18.解析：（1）
平面
，且
平面
，

又平面

平面

,

(线面平行的性质定理).

又
是平行四形
两边
的中点，
,
,

四点共面. ……………………… 2分

,
,又
，且
,

平面
. ……. 4分

(2)在平面
内做
的垂线，垂足为
,则由第 (1)问可知：
平面
, 则平面ABCD
平面
,所以
平面
,

又因为
，则二面角
的的平面角为
…………..6分

在
和
中，

，

………………………………………………6分

过
做边
的垂线，垂足为
,连接,
,

解法一 由作图可知，
,

由第（1）问，

，
,

是要求二面角
的平面角. …….9分

在
中，
,

，

，即二面角
的余弦值是
. ………….12分

解法二 以
为坐标原点，以
方向为
轴正方向建立空间直角坐标系，则由解法一知：
，
,
,

则
,
,

设平面
的一个法向量为
，

则由

， ………………….9分

同理可求得设平面
的一个法向量为:
(也可根据对称性求得)，

……………… 10分

于是有：

，

根据法向量的方向，设二面角
的平面角为
，

则
……………….12分

19．（1）由题意知，
组频率总和为，故第
组频率为
，即①处的数字为
；…1分

总的频数为
，因此第组的频数为
，即②处数字为
……2分

频率分布直方图如下：

（2）第
组共
名学生，现抽取
人，因此第
组抽取的人数为：
人，第组抽取的人数为：
人，第
组抽取的人数为：
人. ……7分

公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取
人，每个人被抽到的概率是相同的. ………………8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）

（3）
的可能取值为

的分布列为：

























……12分

19. 解：（1）已知
的垂直平分线与
交于Q点，

由于
所以
，即Q点是以
为焦点的椭圆 ………………2分

故所求Q点方程为
. ……………3分

设过点
（1,0），且斜率为
（
）的直线
方程为
，设点
，点
, ……4分

将直线
方程
代入椭圆
：
，

整理得：
， ……….5分

因为点在椭圆内，所以直线
和椭圆都相交，
恒成立，

且
. ……………6分

直线
的方程为
，直线
的方程为
，

令
，得点
，点
，

所以点的坐
……8分

直线
的斜率为

. ………10分

将
代入上式得，

.

所以
为定值
. …………12分

21. 解析：(1)
，此时
，又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，由题意得，
，
. ……… 2分

（2）
则

在
单调递减，且

当
时，
即
，

当
时，
的图像始终在
的图象的下方. …………… 5分

（3） 由题，
.

∵
，∴
，∴
，

即
， ………………………7分

设
,则
是关于的一次函数，

故要在区间
证明存在唯一性，

只需证明
在上满足
.下面证明之：

，

，

为了判断
的符号，可以分别将
看作自变量得到两个新函数
，

讨论他们的最值：

，将
看作自变量求导得

，

是
的增函数，

∵
，∴

；

同理：

，将
看作自变量求导得

，

是
的增函数，

∵
，∴

；

∴
，

∴函数
在
内有零点
，……..11分

又
，函数
在
是增函数，

∴函数
在
内有唯一零点
，从而命题成立.…12分

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

23、解：（Ⅰ）直线
的参数方程
（为参数）

点的直角坐标为（0，4）

圆
方程
得
代入

得圆
极坐标方程
……………………………………………………（5分）

（II）直线
的普通方程为

圆心M到
的距离为

∴直线
与圆
相离. …………………………………………………………………（10分）

24.解：（Ⅰ）原不等式等价于

或

解得
或

∴不等式解为 （－1，+）.……………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）

设
则

在（－3，0]上
单调递减，且 2

在（2，3）上
单调递增且2

∴在（－3，3）上 2

故
时 不等式
在（－3，3）上恒成立…………………………（10分）