第 I 卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

1. 已知
，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

2.若
是两个非零向量，则“
”是“
”的（ ）

A. 充分不必要条件 B .必要不充分条件

C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

若直线
过圆
的圆心，则的值为（ ）

A.4 B. -4 C. -5 D. -6

4. 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．

B．

C．

D．

若
，则
( )

A.
B.
C.
D.

6.已知
，则
展开式中，含的一次项的系数为（ ）

A.
B.
C.
D.

7.钝角
最大边长为4，其余两边长为
，以
为坐标的点所表示的平面区域的面

积为 ( )

A.
B.
C.
D.

函数
的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设
是椭圆：
的左，右焦点，为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角形，则椭圆的离心率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

设是
边
延长线上一点，记
方程
若在
上方程恰有两解，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第 II 卷

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.等差数列
的前项和
，则
的最小值是

12.已知圆的极坐标方程是
，那么该圆的直角坐标方程是

13.已知
， 使不等式
成立，则实数
的取值范围是

14.如图是函数
的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为
，则

下列命题：

①.设
，
则
的最小值是
;

②.已知

，则
;

③.若
则
成等差数列 ;

④.已知函数
满足
，
，
则
;

其中正确的命题是___________。（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题（6小题，共75分）

16．（本题满分12分）在一次自主招生选拔考核中，每个候选人都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某候选人能正确回答第一，二，三，四轮问题的概率分别为
，
，
，
，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（I） 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(II) 该选手在选拔过程中回答问题的个数记为
，求随机变量
的分布列和期望.

17.（本题满分12分）已知
的面积为
，角
的对边分别为
，
．

（I）求角；

（II）求
的最大值．

18. （本题满分13分）如图，在四棱锥
中，
,
,
，
,
,是
的中点．

（I） 证明：
;

（II）证明：
;

（III）求二面
的余弦值．

20．（本题满分13分）已知点
，是一个动点，且直线
的斜率之积为
。

（I）求动点的轨迹
的方程；

(II)设
,过点
直线
交
于
两点,
的面积记为
,若对满足条件的任意直线
，不等式
恒成立，求
的最小值.

21．（本题满分13分）在数列
中，已知
，且对任意
，总有
成等差数列，其公差为
．

（Ⅰ）证明:
，
，
成等比数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）记
，证明：
．

数学参考答案（理）

三．解答题:（本大题共6小题，共75分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

请评卷老师严格按评分标准给分

解：设事件
表示“该选手能正确回答第轮问题”。

由已知
.............4分

设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”则

.............................6分

(2)

....................................12分

X

1

2

3

4



P













17. 请评卷老师严格按评分标准给分

解(1)
的面积为
，
,
(

又
(,由(÷(得到
，又为三角形的内角，则
................分

，由余弦定理

当且仅当“
”是取得最大值...............12分

18. 请评卷老师严格按评分标准给分

（I）证明：在四棱锥
中，

因
底面
，
．

，

,
.................3分

（III）过点作
，垂足为
，连接
．

由（II）知，
，
在平面
内的射影是
，则
．

因此
是二面角
的平面角．

由已知，得
．设
，可得

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM．PD=PA．AD．则
．

在Rt△AEM中，
,
,
．

所以二面角A﹣PD﹣C的余弦是
．...........................................................13分

19. 请评卷老师严格按评分标准给分

解：（1）由题意知：

则
..................................................... 2分

令

即
在[1，+∞）上单调递增

的取值范围是
..........................................5分

（2）由（1）知

则
................................................7分

①当
，
时，
在
上单调递减，

上单调递增 .............................9分

②当
上单调递增

综上所述，当
的增区间为

当
..................................12分

20. 请评卷老师严格按评分标准给分

（1）设动点P的坐标为
，则直线
的斜率分别为
，

由条件
，即

当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为
，由

得到
..................................................................8分