考试时间：120分钟

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设全集为R，集合
，则

A．[(2，2] B．
C．
D．

2.若复数满足
，则的虚部为

A．
B．
C．
D．

3.执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入的值为

A．2 B．

C．－2或－3 D．2或－3

4.实数
满足
，则
的最大值是

A．－1 B．0 C．3 D．4

5.二项式
展开式中的常数项是

A．180 B．90 C．45 D．360

6.三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为

A．
B．
C．
D．

7.已知双曲线
的离心率为
，则此双曲线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

8.等比数列
的前项和为
，若
，则公比=

A．－2 B．2 C．3 D．－3

9.有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
， 若对于任意
,不等式
恒成立，

则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

11.点
均在同一球面上，且
、
、
两两垂直，且


,则该球的表面积为

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
是定义在R上的偶函数，对于任意
都
成立；当
，且
时，都有
．给出下列四个命题：①
；②直线
是函数
图象的一条对称轴；③函数
在
上为增函数；④函数
在
上有335个零点．

其中正确命题的个数为

A．１ B．２ C．３ D．４

二、填空题(5×4＝20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13. 已知
，
，
，且
与
垂直，则实数
的值为 .

14.如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线
及直线
与轴围成的区域，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为
，则
.

15．曲线
在点
处的切线的斜率为 .

16. 数列
的前项和记为
，
，
，则
的通项公式为 .

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在
中，角，,
的对边分别是，
，，其面积为
，且
.

（1）求; （2）若
，
,求.

18.如图五面体中，四边形
为矩形，
,四边形
为梯形,

且
,
.

（1）求证：

；

（2）求此五面体的体积.

19.为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：

班 级

甲

乙

丙

丁



志愿者人数

45

60

30

15



为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.

（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；

（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用
表示抽得甲班志愿者的人数，求
的分布列和数学期望.

20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为
，且
，点（1，
）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线
与椭圆相交于
两点，且
的面积为
，求直线
的方程.

21.已知函数
在点
的切线方程为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，求证：
在
上恒成立.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.《选修4-4：坐标系与参数方程》

已知直线L的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin(θ＋)(θ为参数)．

(1)求圆C的直角坐标方程.

(2)判断直线L和圆C的位置关系.

23．《选修4-5：不等式选讲》

已知函数
．

（1）证明：
；

（2）求不等式
的解集．

西宁市第四高级中学2015届高三数学答案（理科）

三、解答题：

17. (本小题满分12分)

解：（1）由已知得：
………4分

………5分

由A是内角，∴
………6分

（2）由
得
………7分

∴
………10分

由正弦定理得：
………12分

18 .(本小题满分12分)

解：（1）证明：连
，过
作
，垂足为
，

∵
，
，

∴
， ………………………2分

又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，
，

∴
，
=
，

∵
，
，……………… 4分

∵
，

……………………… 6分

（2）连接CN，
,…… 8分

又
，所以平面
平面
，且平面

，
，
，

∴
， ………9分

………11分

此几何体的体积
…12分

19. (本小题满分12分)

解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,5

…2分

从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有
种，

这两名志愿者来自同一班级的取法共有
+
+
+
=350. ………5分

∴
. ………6分

（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10. X的可能取值为
， ………8分

，
，
.

∴X的分布列为：

X



















 ………11分

………12分

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

(1)消去参数t，得直线l的方程为y＝2x＋1；

ρ＝2sin(θ＋)，

即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，

两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，

消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：

(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)圆心C到直线l的距离

d＝＝＜，

所以直线l和⊙C相交．

　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2　(2)相交

23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（1）

当
所以
………………5分

（2）由（I）可知，

当
的解集为空集；

当
；

当
.

综上，不等式
…………10分