一．选择题（每题5分共60分）

1．对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．设f(x)＝lg，则f ＋f 的定义域为(　　)．

A．(－4,0)∪(0,4)　　　 B．(－4，－1)∪(1,4)

C．(－2，－1)∪(1,2)　　　 D．(－4，－2)∪(2,4)

3．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(　　)．

A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β

D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β

4.已知向量
（ ）

A.
B.
C.
D.

5．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)

A. B. C. D．1

6.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝ (　　)．

A．5　　　B．6　　　C．5或6　　　D．6或7

7．设x，y∈R＋，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(　　)．

A．40　　　B．10　　　C．4　　　D．2

8．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为(　　)．

A．(－∞，－1)　　　 B． (0,1)

C．[1，＋∞)　　　 D．(1，＋∞)

9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是(　　)．

A．12π　　　 B．24π　　　

C．32π　　　 D．48π

10．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项的和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是 （ ）

A．24 B． 48 C．60 D．84

11．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 (　　)．

A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)　B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C．(－2,4)　　　 D．(－4,2)

12．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围为(　　)

A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[－2,2]

二．填空题（每题5分共20分）

13.函数y=sin2x+2
sin2x的最小正周期T为_______

14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.

15．已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

16.已知
是单位向量，
.若向量
满足
________．

三．解答题

17．(10分)设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

18．(12分)已知向量
＝，
＝.

(1)若
＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝
,在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．

19．(本小题满分12分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}通项公式bn

20． (本小题满分12分)设a＞0，a≠1，t＞0，比较logat与loga的大小，并证明你的结论．

21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥ CD，

AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD. E和F分别是CD和PC的中点．

求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

22．(本小题满分12分)已知函数
，

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）若不等式
在区间（0,+
上恒成立，求
的取值范围；

（3）求证：

2014—2015学年第一学期期中考试

高三数学（文）试题答案

一．选择题

1—5 A BBCC 6—10 CDDDC 11—12 DA

二．填空题

13. 14. 10 15. 6 16.

三．解答题

17.[解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0；

若m≠0，则?－4

所以m的取值范围是(－4,0]．

(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m(x－)2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

方法一：令g(x)＝m(x－)2＋m－6， x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，

所以m<，则0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0.

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是{m|m<}．

方法二：因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，

所以m<.

因为函数y＝＝，

在[1,3]上的最小值为，

所以只需m<即可．

所以，m的取值范围是{m|m<}．

18

(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，

由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.

∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，

19.解　(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.

又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1.

(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；

当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝，

∴bn＝

20.解：loga－logat＝loga－loga＝loga，

∵t＞0，t＋1≥2(当且仅当t＝1时等号成立)，

∴≥1.

当t＝1时，loga＝logat；当t≠1时，＞1.

若a＞1，则loga＞0，即loga＞logat；

若0＜a＜1，则loga＜0，即loga＜logat.

21.证明　(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.

又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.

又E，F分别是CD和CP的中点，

所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD?平面PCD，

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

22.解：（1）∵
（

∴
令
，得

故函数
的单调递增区间为
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