本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合
，
，若
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知命题
则
是

A．
B．

C．
D．

3.已知实数
满足
，则下列关系式恒成立的是

A.
B.
C.
D.

4.曲线
在点
处的切线方程为

A.
B.
C.
D.

5.若
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

5、将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数

A．由最大值，最大值为
B．对称轴方程是

C．是周期函数，周期
D．在区间
上单调递增

6、已知函数
的导函数
，

，则
中最大的数是

A． B． C．
D．

7、已知
，若函数
满足
，则称
为区间
上的一组“等积分”函数，给出四组函数：

①
； ②
；

③
；

④函数
分别是定义在
上的奇函数且积分值存在．

其中为区间
上的“等积分”函数的组数是

A．1 B．2 C．3 D．4

8、已知
，若
对任意实数
恒成立，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

9.函数
的图象大致是

函数
的单调减区间为

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上

11、已知向量
与向量
的夹角为
，若
且
，则
在
上的投影为

12、已知偶函数
在
上满足：当
且
时，总有
，则不等式
的解集为

13．已知复数
，则
的虚部是 .

14. 方程
有
个不等的实根, 则常数
的取值范围是　　　.

15．定义在上的函数
满足
，则
　.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

已知集合
，集合
，函数
的定义域为集合B．

若
，求集合
；

命题
，命题
，若是的必要条件，求实数的取值范围．

17、（本小题满分12分）

在
中，
所对的边分别为
，向量
，向量

若
．

（1）求角A的大小；

（2）若
外接圆的半径为2，
，求边的长．

18、（本小题满分12分）

据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风已知向正南方向移动，

其移动速度
与时间
的函数图象如图所示，过线段OC上一

点
作横轴的垂线
，梯形OABC在直线
左侧部分的面积即为
内

台风所经过的路程
．

（1）当
时，求的值，并将随变化的规律用数学关系式表示出来；

（2）若N城位于M地正南方向，且距N地
，试判断这场台风师父会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

19、（本小题满分12分）

某地一天的温度（单位：
）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：

，且早上8时的温度为
，
．

（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？

（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过
时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？

20、（本小题满分13分）

已知函数
（其中为常数）

（1）如果函数
和
有相同的极值点，求的值，并写出函数
的单调区间；

（2）求方程
在区间
上实数解的个数．

21、（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：当
时，
；

（Ⅱ）若不等式
对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：

数学（理科）答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.

11．

12．

1

（-2,2）

-3

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

解析：

（1）因为集合
，因为

函数
，由
，

可得集合
…………2分

， …………………………………………4分

故
. ……………………………6分

（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即

由
，而集合应满足
，

因为

故
， ……………………8分

依题意就有：

， ………………………………………10分

即
或

所以实数的取值范围是
. …………………12分

18．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由图象可知：

直线
的方程是：
，直线
的方程是：

当
时，
，所以

. …………………………………2分

当
时，
； ………………………3分

当
时，
…………………4分

当
时，

…………5分

综上可知随变化的规律是

………………………………………7分

（Ⅱ）
，

， …………………………………………8分

,
…………………………9分

当
时，令
，解得
，（
舍去）…………………………11分

即在台风发生后30小时后将侵袭到
城. ……………………12分

19．（本小题满分12分）

解析：

故中央空调应在上午
时开启，下午
时（即下午
时）关闭…………12分

20．（本小题满分13分）

解析：（Ⅰ）
，

则
， ……………………1分

令
，得
或
，而二次函数
在
处有极大值，

∴
或
；

综上：
或
． ………………………4分

当
时，
的单调增区间是
，减区间是
……5分

当
时，
的单调增区间是
，减区间是
； ………………6分

（Ⅱ）

， …………8分

，

当
时，
，
无解，故原方程的解为
，满足题意，即原方程有一解，
； …………………9分

当
时，
，
的解为
，故原方程有两解，
；

当
时，
，
的解为
，故原方程有一解，
；

当
时，
，由于

若
时，
在
上有一解，故原方程有一解；

若
时，
在
上无解，故原方程有无解；

当
时，
，由于

在
上有一解，故原方程有一解； …………………11分

综上可得：当
时，原方程在
上无解；当
或
时，原方程在
上有一解；当
时，原方程在
上有两解.……………13分

21．（本小题满分14分）

解析：

（Ⅰ）令函数
，定义域是

由
，可知函数
在
上单调递减

故当
时，
，即
. ……………………………3分

（Ⅱ）因为
，故不等式
可化为
……

问题转化为
式对任意的正实数恒成立，

由(Ⅰ)可知
，不合题意.

综上可得，正实数的取值范围是
. ………………10分

（Ⅲ）要证
，即证
，

由（Ⅱ）的结论令
，有
对
恒成立，

取
可得不等式
成立，

综上，不等式
成立. ………………………………14分