海珠区2014学年高三综合测试（二）数学（理科）

2014.11

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，那么集合
为

　A．
B．
C．
D．

2．若复数
满足
,则
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．函数
的一条对称轴为

A.
B.
C.
D.

4．已知向量
的夹角为120
，
，且
，则

A．6 B．7 C．8 D．9

5．函数
与
在同一平面直角坐标系内的大致图象为

6
．阅读如图所示的程序框图，输出的结果
的值为

A．0 B．
C．

D．

7．已知椭圆
与双曲线

共焦点
，设它们在第一象限的交点为
，

且
，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．

C．
D．

8．若实数
满足
，则
的最小值为

A．8 B．
C．2 D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．已知
是等差数列，
，
，则该数列前10项和
．

10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为
的等边

三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为
.

11．不等式
的解集是 ．

12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种（用数字作答）．

13．给出下列四个命题：

①已知
服从正态分布
，且
，则
；

②“
”的一个必要不充分条件是“
”；

③函数
在点
处的切线方程为
；

④命题
；命题
．则命题“
”是假命题．

其中正
确命题的序号是 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆
与直线
相交所得的弦长为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙
是
的外接圆，
，延长
到点
，使得
，连结
交⊙
于点
，连结
，若
,则
的大小为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边长分别是
,已知
，
.

（1）求
的值；

（2）若
，
为
的中点，求
的长.

17．（本小题满分12分）

甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：
指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件甲

8

12

40

32

8



元件乙

7

18

40

29

6



（1）试分别估计元件甲、元件乙为正
品的概率；

（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，
若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元. 在（1）的前提下，记
为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图所示，已知
垂直以
为直径的圆
所在平面，点
在线段
上，点
为圆
上一点，且
,
，

（1）求证：
⊥
；

（2）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前
项和为
，满足
．

（1）求
；

（2）求
；

（3）设
，求证：对任意正整数
，有
．

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，
两点的坐标分别为
、
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
，直线
、
与直线
分别交于点
．

（1）求动点
的轨迹方程；

（2）求线段

的最小值；

（3）以
为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
（
）．

（1）当
时，求函数
的值域；

（2）试讨论函数
的单调性．

 海珠区2014学高三综合测试（二）

理科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 解：（1）
且
，∴
．………………1分

∴
………………2分

………………4分

………………
5分

． ………………6分

（2）由（1）可得

． ………………7分

由正弦定理得
，即
， ………………8分

………………12分

17．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件. ………………1分

所以元件甲、乙为正品的频率分别为
，
. ………………3分

根据频率可估计元件甲、乙为正品的概率分别为
，
. ………………4分

（2）随机变量
的所有取值为150，90，30，－30， ………………5分

则
，
，

，
． ………………9分

所以
的分布列为：

150

90

30

-30















 ………………10分

的数学期望为

.……………12分

18．解：（1）由
,
，知
，
，点
为
的中点．……1分连接
．∵
，∴
为等边三角形． ……………2分

又点
为
的中点，∴
．……………3分

∵
平面
，
平面
，

∴
．
……………4分

又
，
平面
，

平面
，

∴
平面
． ……………5分

又
平面
，

∴
⊥
． ……………6分

（2）解法1:过点
作
，垂足为
，连接
．

由（1）知，
平面
，又

?平面
，∴
⊥
．……………7分

又
，∴
⊥平面
．

又
?平面
，∴
⊥
． ……………8分

∴
为二面角
的平面角． ……………9分

因为
， ∴
，则
．……………12分

在
中，由（1）可知
，∴
， ………13分

∴
，即二面角
的余弦值为
． ……………14分

解法2: 由（1）可知，
三线两两垂直，以
原点，以
分别为
轴建立空间直角坐标系. ………7分

则
,
,
, ………8分

∴
,
, ………9分

设平面
与平面
的法向量分别为
,

显然平面
法向量为
，………10分

由
，
,

∴
，解得
………11分

∴
………12分

，………13分

∴二面角
的余弦值为
．………14分





19．解：（1）当
时，
，∴
， ……………1分

当
时，
，∴
， ……………2分

∴
． ……………4分

(2)由（1）猜想：
. ……………5分

下面用数学归纳法证明：

当
，
显然成立；

假设当
时命题成立，即
，那么当
时，

，

即
时命题也成立，

综上可知，
． ……………9分

（3）由（2）知
， ……………10分

∴
， ………11分

∴
， …13分

∴
．