一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，
，则下列结论中正确的是

A.
B.
C.
D.

2．若直线
与直线
平行，则

A.
B.
C.
或
D.

3．已知
是定义在上的奇函数，当
时
（为常数），则
的值为

A.
B. 4 C.
D. 6

4．曲线
与曲线
的

A.长轴长与实轴长相等 B.短轴长与虚轴长相等

C.焦距相等 D.离心率相等

5．下列命题中，错误的是

A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一平面的两个不同平面平行

C.如果平面不垂直平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

D.若直线
不平行平面，则在平面内不存在与
平行的直线

6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为

A．5 B．6 C．7 D．8

7．“
”是“复数
与
的积是纯虚数”的（ ）条件.

A．充分必要 B．充分不必要

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

8．定义一种新运算：
，已知函数
，若函数
恰有两个零点，则
的取值范围为.

A.
B.
C.
D.

二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为
的等腰三角形,则该三棱锥的体积为____.

10．已知数列
满足
,且
,则
.

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c.若
，
，则角＝

12.
____________.

13.已知正实数
满足
,且
恒成立,则
的最大值是________.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，曲线
和
相交于点
，则
＝ .

15．(几何证明选讲选做题) 如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝2，BC＝
，则⊙O的半径等于________．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值；

（2）若
，求
的值。

17. （本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；

（2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

18. （本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.

（1）求证：点M为BC的中点；

（2）求点B到平面AMC1的距离；

（3）求二面角M—AC1—C的大小.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆：
(
)的离心率为
，右焦点为
.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点
为坐标原点，过点作直线
与椭圆E交于
两点，若
，求直线
的方程．

20．（本小题满分14分）

设数列
的前项和为
，已知
(n∈N*).

（1）求
的值，并证明数列
是等差数列；

（2）设
，数列
的前项和为
，若存在整数，使对任意n∈N*且n ≥2，都有
成立，求的最大值；

21．（本小题满分14分）

已知函数f（x）=－x2+2lnx与g(x)=x+
有相同极值点．

(1) 求实数a的值；

(2) 若x1 ，x2是区间[2，3 ] 内任意两个不同的数，求证：

(3) 若对于任意x1 ，x2∈[
，3 ]，不等式
≤1恒成立，求实数k的取值范围．

揭阳一中2014—2015学年度年高三上学期期中考试

数学试题(理科)参考答案及评分说明

所以函数
在区间
上的最大值为2，最小值为
.…………………………………6分

（Ⅱ）解：由（1）可知

又因为
，所以
……………………………………………………7分

由
，得
…………………………………………………………8分

从而
………………………………………………9分

所以

……12分

17．解：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P(A)=P(B)=P(C)=
………………………………………………………………………………2分

P(
)=P(A)P()P(
)=
………………………………………………5分

答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为
………………………………………………6分

（2）ξ的可能值为0,1,2,3……………………………………………………………………7分

P(ξ=k)=
(k=0,1,2,3)…………………………………………………………9分

所以中奖人数ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P













………………………………………………………………10分

Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
……………………………………………………12分

18．（1）证明：∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC，
面ABC

∴
………………………………………………………………………………1分

又∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AM⊥MC1且AM=MC1

，

面
…………………………………………………………………………2分

面
，

………………………………………………………………………………3分

∵底面ABC是边长为1的正三角形，

∴点M为BC中点.…………………………………………………………………………4分

为点B到平面AMC1的距离.……………………6分

AM=C1M=

在Rt△CC1M中，可得
……………………………………………………7分

∵△BHM∽△C1CM.,

……………………………………9分

解法（二）

设点B到平面AMC1的距离为h.则
………………………………5分

由（I）知 AM⊥C1M，AM⊥CB，

∴AM⊥平面C1CBB1……………………………………………………………………6分

∵AB=1，BM=
…………………………7分

…………………………………………………………8分

得
……………………9分

（3）（解法一） 过M作
于H，作
于G，连结GH.

，又

又因为
，且

面MHG

,

故
为二面角
的平面角……………………………………11分

由（1）知

在等腰直角三角形
中，

………………………………………………13分

因为二面角
为锐二面角，故

所以二面角
的大小为
.………………………………………………14分

（解法二）过M作
交
于
.

以M为坐标原点，
分别为轴，轴，轴方向，建立空间直角坐标系.………………………………………10分

设面
的一个法向量为

由
得
，取
，则

…………………………………………………………………………………11分

同理可求得面
的一个法向量为
…………………………………………12分

设二面角
的大小为
，由图知
为锐角

故
………………………………………………………………13分

故二面角
的大小为
……………………………………………………………14分

19．解：（1）依题意可得
…………………………………………………………2分

解得
椭圆E的标准方程为
．………………………………………4分

（2）设
，

①当
垂直于轴时，
的方程为
，不符题意．……………………………………5分

②当
不垂直于轴时，设
的方程为
．……………………………………6分

由
得：
，……………………………………8分

所以
，
．…………………………………………………10分

于是：
．

因为
，所以
，

所以
，所以，
，………………………………………13分

所以，直线
的方程为：
…………………………………………………………14分

20. 解（1）由
可得
…………………………………………………………1分

由
，得
(n≥2)……………………………………………………2分

两式相减，得
，即
(n≥2) ，于是
…………4分

所以数列
是以首项为2，公差为1的等差数列.………………………………………………5分

（2）
所以
，故
.………………………………6分

因为
，
，………………8分

则
. 令
，

则
………………………………………10分

所以

.

即
，所以数列
为递增数列. ……………………………………12分

所以当n ≥2时，
的最小值为
.

据题意，
，即
.又为整数，故的最大值为18. …………………………14分

21．解：（1）由
……………………………………………………1分

知当
时
；当
时
；

∴　
在
上为增函数，在
上为减函数．

∴　
为函数
的极大值点．……………………………………………………………2分

又函数f（x）=－x2+2lnx与g(x)=x+
有相同极值点，

∴
是函数
的极值点，

∵　
．∴　
，解得
．………………………………………3分

经检验，当
时，函数
取到极小值，符合题意．……………………………………4分

（2）由（1）知函数
在[2，3 ]上单调递减，

不妨设

，令
………………………………………6分

则
，因为
在
上单调递减，且

当
时，

所以函数
在[2，3 ]上单调递增，
，所以问题得证。………………8分

（3）∵　
，
，
，

∵　
， 即
，

∴　
，
．…………………………9分

由（1）知
，∴
.

当
时，
；当
时，
．

故
在
为减函数，在
上为增函数．

∵　
，

而
,

∴　
，
．……………………………10分

①　当
，即
时，对于
，不等式
恒成立

，∴
，

又∵