2014—2015学年度第一学期期中考试高三文科数学试题（A）

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．）

1．命题“
，
”的否定是（ ）

A.
,
B.
,

C.
，
D.
，

2．若集合
且
，则集合B可能是（ ）

A．{1,2} B．
C．
D．R

3. 已知函数
，
，则f (3)的值为 （ ）

A．13 B．7 C．
D．

4．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）．

A．y＝x3 B．y＝ln |x| C．y＝ D．y＝cos x

5. 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图像，则只要将f (x)的图像（ ）

A．向右平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度

6．设函数
定义在实数集R上,
,且当
时
=
,则有（　　）

A．
B．

C．
D．

7. 已知函数f（x）＝sin x－x（x∈[0，π]），那么下列结论正确的是 （　　）．

A．f（x）在上是增函数 B．f（x）在上是减函数

C．?x∈[0，π]，f（x）>
D．?x∈[0，π]，f（x）≤

8．函数
的零点所在的大致区间是（　　）

A．（0,1） B．（1,2） C．（2,e） D．（3,4）

9．函数
的大致图像为

10．已知
为R上的可导函数，当
时，
，则关于x的函数
的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．0 D．0或 2

二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分．）

11．

12．若
，则
的值为____________

13．已知函数
是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
的值为_____________

14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

15．下列命题正确的是___________（写序号）

①命题“
”的否定是“
”：

②函数
的最小正周期为“”是“a=1”的必要不充分条件；

③
在
上恒成立

在
上恒成立；

④在△ABC中,“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件.

三、解答题（共75分）

16．（本小题满分12分）

设命题p：实数x满足
，其中
；命题q：实数满足
且
的必要不充分条件，求实数的取值范围.

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
．

（1）求角B的大小；

（2）若
，求△ABC的面积.

18．（本小题满分12分）

设函数
是定义在
上的减函数，满足：
，且
，

求实数m的取值范围。

19. （本小题满分12分）

在△ABC中，A、B、C为三个内角，f（B）＝4cos B·sin2＋cos 2B－2cos B.

（1）若f（B）＝2，求角B；

（2）若f（B）－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知函数
.

（1）若函数
的图象在
处的切线斜率为1，求实数a的值；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数a的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）若a>0,试判断
在定义域内的单调性;

（2）若
在[1,e]上的最小值为
,求a的值;

（3）若
在（1,+）上恒成立,求a的取值范围

2014—2015学年度第一学期期中考试

高三文科数学试题（A）参考答案

一、选择题

1-5 D A　C B A 6-10 C D Ｂ Ｄ C

二、填空题

11.
12. -
13. 1 14. 10 15. ①②④

三、解答题

16. 解：设

. …………… 5分

是
的必要不充分条件，
必要不充分条件，

， ……………………8分

所以
，又
，

所以实数的取值范围是
. …………………12分

17．解：（1）∵
，由正弦定理，得

∴
． …………2分

∴
， ………4分

∵
, ∴

∴
． 又∵　
， ∴
． …………6分

（2）由正弦定理
，得
…………8分

∴sinC=
…………10分

． …………12分

18．解　
，由

得
， ……………………6分

又
是定义在
上的减函数

，解得
…………………………………12分

19．解　(1)f(B)＝4cos B×＋cos 2B－2cos B

＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B

＝2cos Bsin B＋cos 2B

＝sin 2B＋cos 2B＝2sin.…………3分

∵f(B)＝2，∴2sin＝2，∵0＜β＜π，∴＜2B＋＜，

∴2B＋＝. ∴B＝.…………6分

（2）f (B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．…………8分

∵0＜B＜π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.

∴m＜－4. …………12分

20．解：（1）
…………2分

由已知
，解得
. …………4分

（2）由
得
，

由已知函数
为
上的单调减函数，

则
在
上恒成立，

即
在
上恒成立.

即
在
上恒成立. …………9分

令
，在
上
，

所以
在
为减函数.
,

所以
. …………13分

21．解：（1）由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=+= a>0,

∴f′(x)>0, 故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 …………4分

（2）由（1）可知,f′(x)=.

①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立, 此时f(x)在[1,e]上为增函数,

∴f (x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去) …………6分

②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立, 此时f(x)在[1,e]上为减函数,

∴f (x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去) …………8分

③若-e

当1

当-a0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,

∴f (x)min=f (-a)=ln(-a)+1=,∴a=-. 综上所述,a=- ……10分

（3）∵f(x)0,∴a>xln x-x3

令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,h′(x)=-6x=.

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.

∴h (x)

g (x)