海珠区2014学年高三综合测试（二）数学(文科)

2014.11

参考公式：锥体体积公式
,其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在
每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.

1．已知集合
，那么集合
为

A．
　B．
C．
D．

2．若复数
满足
,则
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．函数
（
）的反函数为

A．
（
） B．
（
）

C．
（
） D．
（
）

4．已知向量
的夹角为
，
，且
，则

A．6 B．7 C．8 D．9

5．函数
的一条对称轴为

A．
　　B．
　　　　C．
　　　　D．

6．根据如下样本数据：

3

4

5

6

7

8





4

2

-1

1

-2

-3



得到的回归方程为
，则

A．
B．
C．
D．

7．函数
与
在同一
平面直角坐标系内的大致图象为

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果
的值为

A．0 B．

C．
D．

9．已知椭圆
与双曲线
共焦点
，设它们在第一象限的交点为
，且
，则双曲线的渐近线方程为

A．
B．

C．
D．

10．若实数
满足
，则
的最小值为

A．8 B．
C．2 D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11. 已知
是等差数列，
，
，则该数列前10项和
________．

12. 一个
几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为
的等边

三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________.

13．给出下列四个命题：

①函数
有最小值
；

②“
”的一个必要不充分条件是“
”；

③命题
；命题
．则命题“
”是假命题；

④函数
在点
处的切线方程为
.

其中正确命题的序号是________．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆
与直线
相交所得的弦长为________.

15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙
是
的外接圆，

，延长
到点
，使得
，连结
交⊙

于点
，连结
，若
,则
的大小为________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边长分别是
,已知
，
.

（1）求
的值；

（2）若
，
为
的中点，求
的长.

17．（本小题满分12分）

随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出
四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表：

好评

中评

差评




款

80%

15%

5%




款

88%

12%

0




款

80%

10%

10%




款

84%

8%

8%





（1）若会员甲选择的是
款商品，求甲的评价被选中的概率；

（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是
款商品的概率.

18．（本小题满分14分）

如图所示，已知
垂直以
为直径的圆
所在平面，点
在线段
上，点
为圆
上一点，且
.

（1）求证：
⊥
；

（2）求点
到平面
的距离．

19．（本小题满分14分）

已知
是首项为2，公差不为零的等差数列，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

20. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，
、
两点的坐标分别为
、
，动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
，直线
、
与直线
分别交于点
、
．

（1）求动点
的轨迹方程；

（2）求线段
的最小值；

（3）以
为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
(
)．

（1）当
时，求函数
的值域
；

（2）试讨论函数
的单调性．

海珠区2014学年高三综合测试（二）

文科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

Ｄ

B

Ａ

Ｃ

Ｃ

Ａ

Ｃ

B

B

Ａ





二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

11.
　12.
　13. ③④ 　14.
　15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 解：（1）
且
，∴
．………………1分

∴
………………2分

………………4分

………………5分

． ………………6分

（2）由（1）可得

． ………………7分

由正弦定理得
，即
， ………………8分

17. 解：（1）由条形图可得，选择
四款商品的会员共有2000人，……1分

其中选A款商品的会
员为400人，由分层抽样可得A款商品的评价抽取了
份． ………………2分

设 “甲的评价被选中” 为事件
，则
． ………………3分

答：若甲选择的是A款商品，甲的评价被选中的概率是
. ………………4分

(2) 由图表可知，选
四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分

用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分

记对
款商品评价为差评的会员是
；对
款商品评价为差评的会员是
；对
款商品评价为差评的会员是
．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个
基本事件：

，
，

． ………………9分

设“至少有一人选择的是
款商品” 为事件
,事件
包含有12个基本事件：


，


.由古典概率公式知
． ………………11分

答：至少有一人选择的是
款商品的概率为
． ………………12分

18．解：（1）由
,
，知
，
，点
为
的中点．……1分

连接
．

∵
，∴
为等边三角形， ………………2分

又点
为
的中点，∴
． ………………3分

又∵
平面
，又
平面
，∴
， ………………4分

，
平面
，
平面
，

∴
平面
， ………………5分

又
平面
，∴
⊥
． ………………6分

19．解：（1）设数列
的公差为
，∴
，
，
，

由
成等比数列， ∴
， ………………3分

即
．∵
，∴
． ………………5分

∴
．
………………6分

（2）由（1）知，
， ………………7分

∴
， ………………8分

， ………………9分

两式相减得：
， ………………11分

∴
， ………………12分

∴
， ………………13分

∴
． ………………14分

另解：由(