2014—2015学年度第一学期期中考试高三理科数学试题（A）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分。考试用时120分钟。

第I卷（选择题 共5分）

一、选择题(本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合M={0,1,2,3}，N=
，则
=（ ）

A．{0} B．
C．
D． {1,2}

2．已知函数
，则
(　　)

A．1 B．－2 C．2 D．

3．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

4． 由曲线
，直线
及轴所围成的图形的面积为(　　)

A．　 B．4　　 C． D．6

5．在
中，角
所对的边分别为
，表示
的面积，若

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．若a，b为实数，则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7． 已知函数
的图象大致为（ ）

8． 已知锐角
满足
，,则
= （ ）

A．
B．
π C．
或
π D．

9．如果实数
满足不等式组
，目标函数
的最大值为6，最小值为0，则实数
的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．定义域为R的函数
,若对任意两个不相等的实数
，都有

，则称函数为“H函数”，现给出如下函数：

①
②
③
④

其中为“H函数”的有（ ）

A．①② B．③④ C． ②③ D． ①②③

二、填空题（大题共5题，每小题5，共25分，把答案填写在答题卡中横线上）

11． 已知复数
,且
是实数，则实数k＝

12． 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=__________

13． 若两个非零向量
，
满足
，则向量
与
的夹角为____

14．已知定义在上的函数
满足以下三个条件：①对于任意的
，都有
；②函数
的图象关于轴对称；③对于任意的
，且

，都有
。则
从小到大排列是________

15．下列4个命题：

①“如果
，则、互为相反数”的逆命题

②“如果
，则
”的否命题

③在△ABC中，“
”是“
”的充分不必要条件

④“函数
为奇函数”的充要条件是“
”

其中真命题的序号是_________

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知p：函数
在
上单调递增；q：关于的不等式
的解集为R．若
为真命题，
为假命题，求的取值范围．

17．（本小题满分12分）

函数
在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、
为图象与轴的交点，且
为正三角形。

（1）求的值及函数
的值域；

（2）若
，且
，求
的值。

18．（本小题满分12分）

在三角形ABC中，∠A，∠ B，∠C的对边分别为
且

（1）求∠A；

（2）若
，求
的取值范围

19．（本小题满分12分）

已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且

（1）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式

（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？

（注：年利润=年销售收入年总成本）

20．（本小题满分13分）

（1）求
的单调区间和极值

（2）若
及
不等式
恒成立，求实数的范围

21．（本小题满分14分）

设
是函数
的一个极值点．

（1）求与
的关系式（用表示
），并求
的单调区间；

（2）设
，若存在
，使得
成立，求实数的取值范围．

2014—2015学年度第一学期期中考试

高三理科数学试题（A）参考答案

1-5:DBCCC 6-10:DAABC

11．2 12．
13．
14．
15．①②

16．解：若命题为真，因为函数的对称轴为
，则

若命题为真，当
时原不等式为
，显然不成立

当
时，则有

由题意知，命题、一真一假

故
或

解得
或

17．（1）由已知可得：

=3cosωx+

又由于正三角形ABC的高为2
，则BC=4

所以，函数

所以，函数
。

（2）因为
（Ⅰ）有

由x0

所以，

故

18．解（1）由余弦定理有

，

（2）
且
，

，
，（当且仅当
时取等号）

方法二、由正弦定理

=

因为
，所以

所以
即

19．解（1）由题意

（2）①当
时，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减

故当
时W取到最大值38.6

②当
时

当且仅当
即
时取等号

综上，当年产量为9万件时利润最大为
万元

20．解：（1）

列表如下：













0









极小值





所以，
单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值是
，无极大值.

（2）由（1）可知
在
上单调递增

所以
即
对
恒成立

所以
，解得

21． (本题满分14分)

解：（Ⅰ）∵

∴

由题意得：
，即
，

∴
且

令
得
，

∵
是函数
的一个极值点

∴
，即

故与
的关系式
（1）当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
；

（2）当
时，
，由
得单增区间为：
；

由
得单减区间为：
、
；

（2）由（1）知：当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，

在
上的值域为

易知，
在
上是增函数

在
上的值域为

由于

又要存在存在
，使得
成立，

必须且只须
，解得

所以，实数的取值范围为
.