一、选择题（每小题5分，总50分）

1.已知集合
，
，则
（　　）

A.
B.
C.
D.

2.下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的函数为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．设为虚数单位，则复数
等于（　　）

A．
B．
C．
D．

4.设
为奇函数，当
时，
，则
( )

A.
B.
C. D.

5.某几何体的三视图如右图所示，它的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知函数
，则
的（ ）

A.最小值为3 B.最大值为3

C.最小值为
D.最大值为

7．函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图像，则只要将
的图像 （ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

8.如右上图，在
中，点是
边上靠近的三

等分点，则
（　）

A．
B．
　 C．　
　 D．

9.已知O是坐标原点，点A(-1,1) ，若点 M(x,y) 为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是（ ）

A. [-1,0] B. [0,1] C. [0,2] D. [-1,2]

10．设函数
有三个零点
，

且
则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11.已知
,且
则

12.直线
是函数
的切线，则实数
．

13. 设函数

，若
，则
的取值范围是

14. 向量
在正方形网格中的位置如图所示.

设向量
,若
，则实数
__________.

三、解答题（共80分）

15．（本小题满分12分）

已知函数
的周期是.

（1）求和
的值；

（2）求函数
的最大值及相应的集合．

16.（本小题满分12分）

组别

达标

不达标

总计



甲班



8





乙班

54







合计





120



某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计

测试成绩达标人数情况得到如图所示的列联表，已知

在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为
.

（1）请完成上面的列联表；

（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？

（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．

17. （本小题满分14分）已知向量
=(sin B,1-cos B),且与向量
=(1,0)的夹角为
错误！未找到引用源。,其中A,B,C是△ABC的内角.

(1)求角B的大小;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

18. （本小题满分14分）

如图,在三棱柱
中，侧棱
底面
,

为
的中点,
,
.

(1)求证：
平面
；

(2) 求四棱锥
的体积.

19.（本小题满分14分）

已知函数

（I）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（II）在（I）的条件下，求
的极值；

（III）讨论
的单调区间。

20．(本小题满分14分）已知

．

（1）当
时，求
上的值域；

(2) 求函数
在
上的最小值；

(3) 证明: 对一切
，都有
成立

2015届高三上学期期中数学（文科）考试参考答案

16.解：（1）

组别

达标

不达标

总计



甲班

54

8

62



乙班

54

4

58



 合计

108

12

120





……………………3分

（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为
人，……………4分

从乙班抽取的人数为
人……………………………………………5分

（3）设从甲班抽取的人为
，从乙班抽取的人为1，2；

“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件.………………………………………6分

所得基本事件共有15种，即：

……………………………8分

其中事件包含基本事件
，共6种，……………………10分

由古典概型可得
……………………………………………………12分

17.解:(1)∵m=(sin B,1-cos B),且与向量n=(1,0)的夹角为
,

∴cos
=
=
=
, …………3分

∴2sin2B=1-cos B, …………4分

∴2cos2B-cos B-1=0, …………5分

∴cos B=1或cos B=-
…………6分

又0

(2)由(1)可得A+C=
,∴sin A+sin C=sin A+Sin（
-A）=
sin A+
cos A=sin（A+
）, ……10分

∵0

∴sin
A+

∈
,…………13分

∴sin A+sin C∈
.…………14分

18. （1）证明:连接
,设
与
相交于点
,连接
,

∵ 四边形
是平行四边形, ∴点
为
的中点.

∵为
的中点，∴
为△
的中位线,

∴
. ……………………… 3分

∵
平面
,
平面
,

∴
平面
. …………………………………… 6分

(2)解法1: ∵
平面
,
平面
,

∴ 平面
平面
，且平面

平面

.

作
，垂足为，则
平面
， …………… 8分

∵
，
，

在Rt△
中，
，
，… 10分

∴四棱锥
的体积
…… 12分

.

∴四棱锥
的体积为
. …… 14分

解法2:提示

19.解：（I）当
时，
，
------------------------------1分

，
-------------------------------3分

所以切线方程为
--------------------------------5分

（2）函数的定义域为
，由（1）得
，-----6分

∵x>0
恒成立 -----8分

∴f(x)在
上单调递增，没有极值 ---------9分

（3）
-----------------------------10分

当
时，在
时
，所以
的单调增区间是
；-11分

当
时，函数
与
在定义域上的情况如下：













0

+





↘

极小值

↗



 ------------------------------------13分

综上，当
时，
的单调增区间是
；当a<0时，
的单调增区间是
，减区间是
。---------------14分

21．(本小题满分14分)

解：（1）∵
=
, x∈[0,3] ………….. 1分

当
时，
；当
时，

故
值域为
………………. 3分

（2）
，当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增． …………………………. 5分

①
，t无解； …………… 6分

②
，即
时，
； ………………. 7分

③
，即
时，
在
上单调递增，
；……8分

所以
． ………………. 9分