山西大学附中2014年高三第一学期9月月考数学试题

考试时间：120分钟 满分：100分 考查内容：高中全部

一．选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分.）

1.已知集合
，


,则
是

A.
B.
C.
D.

2.已知函数
，则
等于

A.
B.
C.
D.

3.函数
的单调递减区间是

A．
B．
C．
D．

4.已知
且
,则
是
的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5．定义在上的函数
满足
，且对任意
都有
，则不等式
的解集为

A.
B.
C.
D.

6．已知
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的部分图象是

8.已知函数
在
上的图象恒在轴上方，则的取值范围是

A.
B.
C.
D.

9．设函数
的定义域为，
，且对任意的
都有

，若在区间
上函数
恰有
个不同零

点，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10．已知函数
是定义在上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数满足
, 则的最小值是

A.
B. C.
D.

11．若函数
的图象在
处的切线与圆
相切，则
的最大值是

A. B.
C. D.

12.某同学在研究函数
＝
＋
的性质时，受到两点间距离公式的启发，将
变形为
＝
＋
，则
表示
（如图），则下面关于函数
的描述正确的是

①
的图象是中心对称图形；

②
的图象是轴对称图形；

③函数
的值域为
；

④方程
有两个解．

A.①③ B.③④ C.②③ D.②④

二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）

13.复数
的共轭复数是_______．

14.若角
的终边过点
，则
的值为_______．

15.已知可导函数
(
)的图象如图所示，则不等式
的解集为___．

16.函数
的定义域为,若对任意的
当
时，都有
，则称函数
在上为非减函数.设
在
上为非减函数,且满足以下条件：

则

三.解答题(本大题共6小题,共52分.)

17.（本题满分8分）在
中，
分别为内角
的对边，且

.

（1）求的大小；（2）求
的最大值.

18.（本题满分8分）已知等差数列
为递增数列，且
是方程
的两根，数列
的前项和

（1）求数列
的通项公式；（2）若
，求数列
的前项和

19．（本题满分8分）如图5，在直棱柱
，

，
.

(1)证明：
； (2)求直线
与平面
所成角的正弦值.

20.（本题满分10分）已知点
,椭圆：
的离心率为
，是椭圆的焦点，直线
的斜率为
，为坐标原点.

(1) 求的方程；

(2) 设过点的直线与相交于
两点，当
的面积最大时，求
的方程.

21．（本题满分10分）已知函数
（为自然对数的底数）,

（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
，存在
，使得

成立，求实数的取值范围．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本题满分8分） 选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（为参数）.

在极坐标系（与直角坐标系
取相同的单位长度，以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆
的方程为
.

（1）求圆
的直角坐标方程；

（2）设圆
与直线
交于点
，若点的坐标为
，求
.

23．（本题满分8分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于的不等式
在
上无解，求实数的取值范围．

参考答案

一．选择题（每小题3分，共36分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

A

C

B

A

C

B

D

C

D

C





二．填空题（每小题3分，共12分）

13.
； 14.
15
； 16.

三.解答题(本大题共6小题，共52分.)

17.(8分)解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

即
由余弦定理得

故
，A=120° ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……8分

18. (8分) 解：（1）①∵等差数列
为递增数列，且
是方程
的两根，

……2分

②∵
∴令n=1，得
，

当n≥2时，

，两式相减得，
，

∴
（n≥2），数列{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列．

∴
（n∈N*）．……4分

（2）∵
，
，∴
．

=
…+
=
．……8分

19．(8分) 解: （1）因为
平面
，所以
为
在平面
内的投影；因为
，由三垂线定理可知
；……4分

（2）以A为原点，AB所在边为x轴，AD所在边为y轴，AA1所在边为z轴建立空间直角坐标系，则
，所以
，
；

因为
，
，所以
，

因为
，所以
，故
，所以
，

设
为
的法向量，则
，

令
，所以
为
的一个法向量；

因为
，
，所以

所以直线
所成角的正弦值
. ……8分

20．（ 10分) 解：(Ⅰ) 显然是椭圆的右焦点，设

由题意

又离心率

，

故椭圆的方程为
……………3分

(Ⅱ) 由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为,方程为

联立直线与椭圆方程：
，化简得：

设
，则

坐标原点到直线的距离为

令
，则

（当且仅当
即
时等号成立）

故当
即
，
时
的面积最大……10分

21．(10分)解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，

∴当
时，
，当
时，
。

∴
在
上单调递增，在
上单调递减. ……3分

（Ⅱ）假设存在
，使得
成立，则
.

∵

∴
………………………6分

当
时，
，
在
上单调递减，∴
，即

②当
时，
，
在
上单调递增，∴
，即

③当
时，在
，
，
在
上单调递减

在
，
，
在