湖南省益阳市箴言中学2015届高三上学期第三次模拟考试 数学（理）

时量：120分钟 总分：150分

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.)

1．设集合
，，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 复数
的虚部是（ ）

A．1 B．-1 C． D．

3．已知
角的终边均在第一象限，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数周期为，其图像的一条对称轴是
，则此函数的解析式可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
、
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．方程
的根存在的大致区间是（ ）

A．
　　 B．
C．
D．

7．已知向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）

A．
B． C．
D．

8．已知函数
，若方程
有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
　　 B．
C．
D．

9．对于非零向量
，定义一种向量积：
．已知非零向量
，且
都在集合
中。则
= （ ）

A．
B．
C．
D．

10.函数
有极值且极值大于0，则a的取值范围是 （ ）

A．
　　 B．
C．
D．
4

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共30分.)

11．函数
的定义域为 。

12．图中阴影部分的面积等于 ．

13．已知函数
在是单调函数，

则实数的取值范围是 。

14．如图，在矩形
中，
点为
的中点，点在边
上，若
，则
的值是 ．

15．已知函数
,在区间
内任取两个实数
,且
,若不等式
恒成立，则实数的取值范围为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）已知命题
，命题
的定义域为R，若
，求实数的取值范围。

17、（本小题满分12分）

设函数

（1）求
的最大值，并写出使
取最大值时的集合；

（2）已知
中，角
的对边分别为
若
，求的最小值。

18．（本小题满分12分）

已知函数
，
，
图象与轴异于原点的交点
处的切线为
，
与轴的交点
处的切线为
，并且
与
平行。

（1）求
的值；

（2）已知实数
，求
的取值范围及函数
的最值。

19．（本小题满分13分）已知四棱柱
，侧棱
底面
，底面
中，

，侧棱
.

（1）若E是
上一点，试确定E点位置使
平面
；

（2）在（1）的条件下，求平面BED与平面ABD所成角的余弦值。

20．（本小题满分13分）某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：

（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；

（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.

21．（本小题满分13分）

已知函数
，
，
是常数．

（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（2）若函数
图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；

（3）证明：
，存在
，使
．

数学（理科）答案

CBDAC BDBBC

11、
12、1 13、
14、2 15、

16、（本小题满分12分）

若P为真，则
，若Q为真则
，故

17．（本小题满分12分）

解：（1）

的最大值为, 的集合为

（2）由题意，
，即

化简得

，
，只有
，

在
中，由余弦定理，

由
知
，即
， 当
时，取最小值

18．（本小题满分12分）

解：（1）
图象与轴异于原点的交点
，

图象与轴的交点
，

由题意可得
， 即

，∴
，

（2）
，当
时，
，∴
在
单调递增，

图象的对称轴
，抛物线开口向上

由
有
，即函数在
上单调递增

综上：当
时，
；

19．解：(1)当E为AA1四等分点时，即A1E＝AA1时，EB∥平面A1CD.

证明：以AB为x轴，以AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，

A(0，0， 0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，1，0)，A1(0，0，4)，

设E(0，0，z)，则＝(－2，0，z)，＝(－2，－1，4)，＝(－2，3， 0)．

∵EB∥平面A1CD，不妨设＝x＋y，∴(－2，0，z)＝x(－2，－1，4)＋y(－2，3，0)．

∴解得z＝3.

所以当E点坐标为(0，0，3)即E为AA1且靠近A1的四等分点时，EB∥平面A1CD.(6分)

(2)∵AA1⊥平面ABCD，

∴可设平面ABCD法向量为m＝(0，0，1)．

设平面BED法向量为n＝(x，y，1)，根据＝(－2，0，3)，＝(－2，4，0)，

∴ 解得n＝(，，1)．

∴cos〈m，n〉＝＝.

由题意可得，平面BED与平面ABD所成角的余弦值为.(

20．（本小题满分13分）解：（1）据题意的

（2）由（1）得：当
时，

当
时，
，
为增函数

当
时，
为减函数

当
时，

当
时，

当
时，

当
时，

综上知：当
时，总利润最大，最大值为195

21．（本小题满分14分）

解：（1）

，

函数
的图象在点
处的切线为
，即

（2）①
时，
，因为
，所以点
在第一象限，依题意，

②
时，由对数函数性质知，
时，
，
，从而“
，
”不成立

③
时，由
得
，设
，











－









↘

极小值

↗





，从而
，

综上所述，常数的取值范围

（3）直接计算知

设函数

，

当
或
时，

，

因为
的图象是一条连续不断的曲线，所以存在
，使
，即
，使
；

当
时，
、
，而且
、
之中至少一个为正，由均值不等式知，
，等号当且仅当
时成立，所以
有最小值
，且

，

此时存在
（
或
），使
。

综上所述，
，存在
，使