浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试

数学理试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={x|
}，N={x | x2 ≤ x}，则M∩N =

（A）
（B）

（C）
（D）

2．设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是

（A）(-a)7＜(-a)9 （B）b- 9＜b- 7

（C）
（D）

3．已知
，
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

5．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（A）若
且
，则

（B）若
且
，则

（C）若
且
，则

（D）若
且
，则

6．已知某锥体的三视图（单位：cm ）

如图所示，则该锥体的体积为

（A）2
（B）4

（C）6
（D）8

7．
的展开式的常数项是

（A）48 （B）﹣48 （C）112 （D）﹣112

8．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）

9．已知实系数二次函数
和
的图像均是开口向上的抛物线，且
和
均有两个不同的零点．则“
和
恰有一个共同的零点”是“
有两个不同的零点”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

10．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)

二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

11．已知复数z满足
= i（其中i是虚数单位），则
▲ ．

12．设
，其中实数
满足
且
，则
的取值范围是 ▲ ．

13．已知抛物线
上两点
的横坐标恰是方程
的两个实根，则直线
的方程是 ▲ ．

14．口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为
，则随机变量
的数学期望是

▲ ．

15．已知直线
及直线
截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积

是 ▲ ．

16．在△ABC中，∠C=90?，点M满足
，则sin∠BAM的最大值是 ▲ ．

17．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得
，且
，则
∠BAC = ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分） 在
中，内角
的对边分别为
，且

，
．

（I）求角
的大小；（II）设
边的中点为
，
，求
的面积．

19．（本小题满分14分）设等差数列
的前n项和为
，且
．

数列
的前n项和为
，且
，
．

（I）求数列
,
的通项公式；

（II）设
， 求数列
的前
项和
．

20．（本题满分15分）如图所示，
⊥平面
，

△
为等边三角形，
，
⊥
，

为
中点．

（I）证明：
∥平面
；

（II）若
与平面
所成角的正切值

为
，求二面角
-
-
的正切值．

21．（本题满分15分）已知椭圆Γ：
的离心率为
，其右焦点
与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线
交于点
，其斜率
满足
．设
交椭圆Γ于A、C两点，
交椭圆Γ于B、D两点．

（I）求椭圆Γ的方程；

（II）写出线段
的长
关于
的函

数表达式，并求四边形
面积

的最大值．

22．（本题满分14分）已知
，函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求
的最小值；

（Ⅱ）在函数
的图像上取点

，记线段PnPn+1的斜率为kn ，

．对任意正整数n，试证明：

（ⅰ）
； （ⅱ）
．

浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试

数学理试题参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分．

1．C　　2．D　　3．A　　4．C　　5． B　

6．A　　7．B　　8．D　　9．D　　10．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分．

11．2 12．[21，31] 13．
14．

15．
16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，得
， ……………………1分

又
，代入得
，

由
，得
， ……………………3分

，
………5分

得
，
……………………7分

（Ⅱ）
， ……………………9分

，
，则
……………………11分

……………………14分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意，
，得
． …………3分

，
，

，两式相减，得

数列
为等比数列，
． …………7分

（Ⅱ）
．

当
为偶数时，

=
． ……………10分

当
为奇数时，

（法一）
为偶数，

……………13分

（法二）

． ……………13分

……………14分

20．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．

依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD． …………3分

又因为BM?平面PCD，CD?平面PCD，所以BM∥平面PCD． …………5分

（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，

所以CD⊥平面PAC，故PD与平面

PAC所成的角即为∠CPD．

……………7分

不妨设PA=AB=1，则PC=
．

由于
，

所以CD=
．……………9分

（方法一）

在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F．因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．

又EF⊥PD，所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角． ……………12分

易知PE=3EC，ME=
，EF=
，

所以tan∠EFM=
，

即二面角C-PD-M的正切值是
．

……………15分

（方法二）

以A点为坐标原点，AC为x轴，建立

如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．

则P（0,0,1），

M（
），C（1,0,0），D
．

则
，
，
．

若设
和
分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则
，可取
．

由
，可取
． ………12分

所以
，

故二面角C-PD-M的余弦值是
，其正切值是
． ……………15分

21．（本题满分15分）

解：（Ⅰ）设右焦点
（其中
），

依题意
，
，所以
． ……………3分

所以
，故椭圆Γ的方程是
． ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1,0）．将通过焦点F的直线方程
代入椭圆Γ的方程
，可得
，

其判别式
．

特别地，对于直线
，若设
，则

，
. ………………10分

又设
，由于B、D位于直线
的异侧，

所以
与
异号．因此B、D到直线
的距离之和



．

………12分

综合可得，四边形ABCD的面积
．

因为
，所以
，于是

当
时，
单调递减，所以当
，即
时，

四边形ABCD的面积取得最大值
． ……………15分

22．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）
时，
，求导可得

……………3分

所以，
在
单调递增，故
的最小值是