一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1．已知集合
，
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．下列有关命题的叙述， ①若
为真命题，则
为真命题；②“
”是“
”的充分不必要条件；③命题
，使得
，则
，使得
；④命题“若
，则
或
”的逆否命题为“若
或
，则
”.其中错误的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．在
中，
，则角等于 (　　)．

A．
B．
或
C．
D．
或

4．已知
且
,则函数
与
的图象可能是（ ）

A B C D

5. 若函数
，则下列结论正确的是（ ）

A．
，
在
上是增函数 B．
，
在
上是减函数

C．
，
是偶函数 D．
，
是奇函数

6．函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

A.
B.

C.
D.

7．如图中阴影部分的面积是 （ ）

A．
B．

C．
D．

8．若
，则
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9．如图，
的外接圆的圆心为
,
则
等于（ ）

A．
B.
C． D.

10．已知函数
满足
，且当
时，

成立，若
，
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知集合
，
，且
，则实数的取值范围是

12．函数
在点（
）处的切线方程是_______________．

13.已知函数
是
上的减函数，那么的取值范围是 _________．

14．定义在
上的函数
的图象如下图所示，
，
，那么不等式
的解集是___________.

15．已知函数
，且
是函数
的极值点。给出以下几个命题：

①
；②
；③
；④

其中正确的命题是__________.（填出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（本题满分12分）

设命题：函数
在区间[－1,1]上单调递减；命题：
使等式
成立，如果命题或为真命题，且为假命题，求的取值范围.

（本题满分12分）

已知向量
.

（1）当
时，求
的值；

（2）求
在
上的值域．

（本题满分12分）

2014年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y＝x－ax2－ln ，x∈（1，t]，当x＝10时，y＝9.2.

(1)求y＝f(x)的解析式;

(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值.

19.（本题满分12分）

在
中，
为角
所对的边，

（1）求角
的大小；

（2）若
，且
，求
的面积.

20.（本题满分13分）

已知函数
定义域是
，且
，
，当
时，
.

证明：
为奇函数；

求
在
上的表达式；

是否存在正整数
，使得
时，
有解，若存在求出
的值，若不存在说明理由.

（本题满分14分）．

已知函数

．

（1）当
时，函数
取得极大值，求实数的值；

（2）已知函数

，在区间
内存在唯一
，使得
. 设函数
（其中
），证明：对任意
，都有
；

（3）已知正数
满足
，求证：对任意的实数
，若
时，都有
.

 2014—2015学年上学期高三期中考试

数学（理科）参考答案

17解（1）
∴
，∴
………………3分

……………… 6分

（2）
………………9分

∵
，∴
，…………10分

∴
………………11分

∴
∴函数
…………12分

18.解析：(1)∵当x＝10时，y＝9.2，即×10－a×102－ln 1＝9.2，解得a＝.

∴f(x)＝x－－ln . (
) …………4分

对f(x)求导，得
.

令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)．…………6分

当x∈(1,50)时，f′(x)＞0， f(x)在(1,50)上是增函数；

当x∈(50，＋∞)时，f′(x)＜0， f(x)在(50，＋∞)上是减函数．…………8分

所以当t>50时，当x∈(1，50)时，f′(x)＞0，,f(x)在(1，50)上是增函数；当x∈(50，t]时，f′(x)＜0，f(x)在(50，t]上是减函数．∴当x＝50时，y取得最大值;…………10分

所以当t50时，当x∈(1，t)时，f′(x)＞0，,f(x)在(1，t)上是增函数,∴当x＝t时，y取得最大值;…………12分

解（1）由正弦定理得：
…………2分

，（3分）又因为
…………5分

（2）由
，

可得
.

所以
或
. …………7分

当
时，
，

此时
；…………9 分

当
时，由正弦定理得
，

所以由
，可知
，…………10分

所以
. …………11分

综上可知，
. …………12分

20.解：(1)
,所以
的周期为2………2分

所以
,所以
为奇函数. ……………4分

…………6分

因为
，所以当
时，
…………8分

（3）任取
……10分

所以不存在这样的
…………13分

21.(1)由题设，函数的定义域为
，且

所以
，得
，此时.
…………………2分

当
时，
，函数
在区间
上单调递增；

当
时，
，函数
在区间
上单调递减.

函数
在
处取得极大值，故
…………4分（不检验只扣一分）

（2）令
，

则
.因为函数
在区间
上可导，则根据结论可知：存在
使得
…7分

又
，

当
时，
，从而
单调递增，
；

当
时，
，从而
单调递减，
；

故对任意
，都有
. …………………………9分

（3）因为
且
，
，

同理

， …………………………12分

由（Ⅱ）知对任意
，都有
，从而

．

…………………………14分

(解答题各题其他解法参考上述评分标准对应给分)