湖北省部分重点中学2015届高三第一次联考

高三数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.

三、解答题：本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分，共75分.

18.解：（Ⅰ）
成等差数列

………………………………6分

（Ⅱ）

?

? =
………………………………12分

20．证明：

（Ⅰ）
，
面

又
是正三角形，M为AC的中点

而

，
面

………………………………6分

（Ⅱ）法一：
，M为AC中点

又

以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，

则
，
，
，
，

则

由（Ⅰ）
，取面
的法向量为

设面PBC的法向量为
，由
得

取一个法向量为

，二面角
的余弦值
. ………………………………12分

（Ⅱ）法二：由（Ⅰ）知
面
，过
作
于
，连
.

为二面角
的平面角（三垂线定理）

中，
，
，

.二面角
的余弦值
.…12分

（Ⅲ）直线AB的方程为

点O到直线AB的距离为

. ………13分

22．解：

记
，

则
，记
，

∴
在
上是增函数，则
，∴
在
上是增函数

，∴
时，
.

记
，

则
，记
，

∴
在
上是增函数，则
，
在
上是增函数

，∴
时，

综上所述，
时，
. …………………6分

要使
，
间一定存在“分界函数”，则
时，
恒成立.

由已知，

∴
时，
在
上恒成立.

下证
时，
在
上不恒成立.

由已知

记

必存在
使

∴必存在
使
，则
时，
在
上不恒成立.

综上，
. …………………14分