2014—2015学年度高三阶段性考试

理科数学参考答案

一、1-5 ABBBB 6-10 ABADD 11-12 AC

二、13. 3 14.
15.
16. 40

17．解：由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，∴ f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)

A＝{ x | x＜－3或x＞1}．

(Ⅰ) B＝{ x | |x－1|≤1}＝{ x | 0≤x≤2}．

∴ ( RA)∪B＝{ x | －3≤x≤1}∪{ x | 0≤x≤2}＝{ x | －3≤x≤2}．......5分

(Ⅱ) B＝{ x | t－1≤x≤t＋1}．

，

∴实数t的取值范围是[－2, 0]．........10分

18.解:(Ⅰ)由已知可得
.

所以

 ......6分

(Ⅱ)



.

因为
，则
，所以
.

故
的值域是
.......12分

19.解：(Ⅰ)因为
，而函数f（x）=
在x=1处取得极值是2，所以
，即
，解得．

故
（）=
即为所求．........6分

(Ⅱ)由（1）知
=
，令
＞0，得﹣1＜＜1，

∴
的单调增区间为(﹣1，1)．

由已知得
，解得﹣1＜≤0．

故当∈（﹣1，0]时，函数
在区间（，2+1）上单调递增.........12分

20. 解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理可得

＝，＝，

又∵＝，∴＝，

即sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，

∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，

又B＋C＝π－A，∴sin(B＋C)＝sinA，

∴sinA＝3sinAcosB，

∵sinA≠0，∴cosB＝，又0

∴sinB＝＝.........6分

(Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB

将b＝4，cosB＝代入得，a2＋c2－ac＝32，

,

(当且仅当
时取等号)

…………12分

21、解：设AN的长为x米(
)

由于
则??

?????? 故SAMPN＝AN?AM＝
?，? …………3分

(Ⅰ)由
，得
，
，即AN长的取值范围是
.………… 6分

????(?Ⅱ? )令y＝
，则y′＝
?

?????因为当
时，y′< 0，所以函数y＝
在
上为单调递减函数，??…… 9分

????从而当x＝3时y＝
取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN＝3米，AM=9米?? …………12分

22．解：(Ⅰ)依题意得
，则

由函数
的图象在点
处的切线平行于X轴得：

∴
………………………………3分

(Ⅱ)由（1）得

∵函数
的定义域为

∴当
时，
在
上恒成立，

由
得
，由
得
，

即函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；

当
时，令
得
或
，

若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；

若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；

若
，即
时，在
上恒有
，

即函数
在
上单调递增，

综上得：当
时，函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；

当
时，函数
在(0,1)单调递增，在
单调递减；在
上单调递增；

当
时，函数
在
上单调递增，

当
时，函数
在
上单调递增，在
单调递减；在
上单调递增．

.............8分

（III）证法一：由（2）知当
时，函数
在
单调递增，
，即
，

令
，则
………………10分

即

………………12分（由于题目印刷错误,学生余下推理部分不管正误，不计分;其它证明方法酌情给分.）

证法二：构造数列
，使其前项和
，

则当
时，
. ........9分

显然
也满足该式，

故只需证
..................10分

令
，即证
，记

则
，

在
上单调递增，故
，

∴
成立，

即

........12分（由于题目印刷错误学生余下推理部分不管正误，不计分; 其它证明方法酌情给分.）

2014—2015学年度高三阶段性考试

理科数学参考答案

一、1-5 ABBBB 6-10 ABADD 11-12 AC

二、13. 3 14.
15.
16. 40

17．解：由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，∴ f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)

A＝{ x | x＜－3或x＞1}．

(Ⅰ) B＝{ x | |x－1|≤1}＝{ x | 0≤x≤2}．

∴ ( RA)∪B＝{ x | －3≤x≤1}∪{ x | 0≤x≤2}＝{ x | －3≤x≤2}．......5分

(Ⅱ) B＝{ x | t－1≤x≤t＋1}．

，

∴实数t的取值范围是[－2, 0]．........10分

18.解:(Ⅰ)由已知可得
.

所以

 ......6分

(Ⅱ)



.

因为
，则
，所以
.

故
的值域是
.......12分

19.解：(Ⅰ)因为
，而函数f（x）=
在x=1处取得极值是2，所以
，即
，解得．

故
（）=
即为所求．........6分

(Ⅱ)由（1）知
=
，令
＞0，得﹣1＜＜1，

∴
的单调增区间为(﹣1，1)．

由已知得
，解得﹣1＜≤0．

故当∈（﹣1，0]时，函数
在区间（，2+1）上单调递增.........12分

20. 解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理可得

＝，＝，

又∵＝，∴＝，

即sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，

∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，

又B＋C＝π－A，∴sin(B＋C)＝sinA，

∴sinA＝3sinAcosB，

∵sinA≠0，∴cosB＝，又0

∴sinB＝＝.........6分

(Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB

将b＝4，cosB＝代入得，a2＋c2－ac＝32，

,

(当且仅当
时取等号)

…………12分

21、解：设AN的长为x米(
)

由于
则??

?????? 故SAMPN＝AN?AM＝
?，? …………3分

(Ⅰ)由
，得
，
，即AN长的取值范围是
.………… 6分

????(?Ⅱ? )令y＝
，则y′＝
?

?????因为当
时，y′< 0，所以函数y＝
在
上为单调递减函数，??…… 9分

????从而当x＝3时y＝
取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN＝3米，AM=9米?? …………12分

22．解：(Ⅰ)依题意得
，则

由函数
的图象在点
处的切线平行于X轴得：

∴
………………………………3分

(Ⅱ)由（1）得

∵函数
的定义域为

∴当
时，
在
上恒成立，

由
得
，由
得
，

即函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；

当
时，令
得
或
，

若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；

若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；

若
，即
时，在
上恒有
，

即函数
在
上单调递增，

综上得：当
时，函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递