2014年高三摸底考试

数学试题（理科、文科）答案

三．解答题：

17. 解：（1）设公差为d，由S3+S5=58，得3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58……2分

∵d=2，∴a1=4，

∴ an=2n+2．
…………………………………………5分

（2）由（1）知a2=6，所以
3．………………………7分

∴ T10= log3b1 +log3b2+ log3b3+…+ log3b10

=log3(b1·b10) + log3(b2·b9) +…+ log3(b5·b6)

=5log3(b1·b10)=5log33=5．………………………………10分

18. 解:（1）由正弦定理得(
，

即
………3分

因为
，所以
，

因为
， 所以

又为三角形的内角，所以
………6分

（2）

=
………9分

由
得

故
的单调增区间为：
. ………12分

19. 解：
3分

当
时，
，
在上单增，此时无极大值； 5分

当
时，
或
，

在
和
上单调递增，在
上单调递减。………8分

此时极大值为
9分

当
时，
或
，

在
和
上单调递增，在
上单调递减。………11分

此时极大值为
12分

20. 解:（1）设等比数列
的公比为
，

依题意，有
即
……………3分

由①得
，解得
或
.

当
时，不合题意舍；

当
时，代入②得
，所以，
，
……….……6分

（2）
. ……………….…………7分

所以

……………….………10分

因为
，所以
，即

解得
，故所求的n的取值集合为{1,2,3,4}…………….12分

21. 解：（1）∵C=2A,∴sinC=sin2A………………………2分

∴
∴
.…………………4分（文5分）

（2）∵

∴
………………………6分 （文8分）

∵cosA=
,∴
,

……………（文10分）

∴

22. 解：（1）令
，

所以当
时，
；当
时，

∴
在[
，3]上的最小值为f（1）=4---------------------------------2分

又f（
）=
，f（3）=28

∴当
时，
≤
≤
，即 4≤
≤28.

∴存在常数M=28等使得
，都有
≤M成立.

故函数
在[
，3]上是有界函数.---------------------4分

（2）∵
. 由
≤1，得
≤1

∴

-------------7分

①令
，显然
在
上单调递减，

且当t→+∞时，
→0. ∴
-------------9分

②令
，

则当m=1即
时，
， ∴

综上可得a=0. -------------12分

（文）解：（1）
……2分令
，
，































极大值



极小值






，
………………………5分

（2）
，

因为函数
有唯一零点，所以
，…………8分