石家庄市2015届高三复习教学质量检测（一）

高三数学（理科）

（时间120分钟，满分150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知集合
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

3、已知向量
，则向量
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、设
是定义在R上的周期为3的函数，当
时，
，则
（ ）

A．
B．1 C．
D．0

6、设
表示不同的直线，
表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A．若
且
，则
B．若
且
，则

C．若
且
，则
D．若
且
，则

7、已知函数
，
为
的导函数，

则
（ ）

A．8 B．2014 C．2015 D．0

8、为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）

A．向右平移动
个单位长度 B．向右平移动
个单位长度

C．向左平移动
个单位长度 D．向左平移动
个单位长度

9、阅读如下的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A．7 B．9 C．10 D．11

10、二项式
的展开式中
的系数是（ ）

A．42 B．168 C．84 D．21

11、某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都

在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

12、设函数
为自然对数的底数
，若曲线
上存在点
，使得
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、曲线
为自然数的底数）在
处的切线方程为

14、实数
满足条件
，则
的最小值为

15、已知圆
，过第一象限内一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，若
，则
的最大值为

16、观察右图的三角形数阵，依次规律，

则第61行的第2个数是

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，且
，求
和
的值。

18、（本小题满分12分）

为公差不为0的等差数列，
，且
成等比数列

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，求数列
的前n项和。

19、（本小题满分12分）

某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一学生中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：
），身高分组区间及人数见下表：

分组













人数

a

8

14

b

2



 （1）求
的值并根据题目补全直方图；

（2）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高超过170
的人数，求Y的分布列及数学期望。

20、（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥
中，底面
为正方形，

侧棱
底面
，
分别为
的中点。

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的大小。

21、（本小题满分12分）

定长为3的线段AB的两个端点
分别在
轴，
轴上滑动，动点
满足
.

（1）求点
的轨迹曲线
的方程；

（2）若过点
的直线与曲线
交于
两点，求
的最大值。

22、（本小题满分12分）

已知函数

（1）若
，求
的单调区间；

（2）若
由两个极值点
，记过点
的直线的斜率
，问是否存在
，使
，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由。

石家庄市2015届高三第一次质量检测数学理科答案

选择题：1-5CBCDA 6-10DADBC 11-12BA

填空题：13．
14．
15．
16.

解答题

17.

因为c=2,不合题意舍去，所以
.....................................10分

18．解(1)设
的公差为d，由题意得
，得
或
(舍)，……………………2分

所以
的通项公式为
……………………4分

（2）

………………①

…………②……………………6分

①－②得
…………………8分

……………………10分∴
……………………12分

19. 解：（1）

解：a=6 b=10……………………………2分

……….5分

（2）P（Y=0）=
P（Y=1）=
P（Y=2）=

Y

0

1

2



P









…………………11分
.…………………………12分

20

(1)分别取
和
中点
、
，连接
、
、
，则

,

,所以

,

四边形
为平行四边形. -------------2

,又



∥
.

- ------------4

(2) 由已知得，底面
为正方形，侧棱
⊥底面
,所以
两两垂直．

如图所示，以
为坐标原点,分别以
为
的正方向，建立空间直角坐标系
，所以
,
,

所以,
,
,- ------------6

设平面
法向量
,

所以
令

所以
为平面
的一个法向量 -------------8

设直线
与平面
所成角为
,

于是
.-------------10

所以直线
与平面
所成角为
. -------------12

解法2

在平面
内作
∥
,

因为侧棱
⊥底面
,

所以
⊥底面
. -------------6

为
的中点,
,

-------------8

设点
到平面
的距离为

,

. -------------10

设直线
与平面
所成角为
,

,所以直线
与平面
所成角为
. -------------12

21.解：（1）设A（
，0），B（0，
），P（
），由
得，
，即
，————————————————————2分

又因为
，所以
，化简得：
，这就是点P的轨迹方程。 ————————————————————4分

（2）当过点（1,0）的直线为
时，

当过点（1,0）的直线不为
时可设为
，A（
，
），B（
，
）联立
并化简得：
，由韦达定理得：
，
，

————————————————————6分

所以

————————————————————10分

又由
恒成立，所以
，对于上式，当
时，

综上所述
的最大值为
…………………………………………12分

22．

解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，

当
或
，时，
，........................2分

当
时，
..........

的单调递增区间为
，单调递减区间为
..........4分

（Ⅱ）