数学测试题答案

一、（每小题5分，共计60分）

DCABA BDADB CC

二、（每小题5分，共计20分）

13、2；14、
； 15、  ；16、
.

三、解答题（共计70分，17题10分，其它各题每小题12分）

17、解
………………………… 1分

=
………………………………… 2分

=
…………………………………4分

（1）
+2…6分

=
……………………………………7分

（2）由
得……………………8分

………………………………9分

所以，
的单调减区间是
……10分

（注：未注明
者，扣1分.）

18、解（1）
…2分

又
所以由正弦定理得
，所以
,…4分

所以
,两边平方得
,又

所以
而
，所以
……………………………6分

（2）
……………………7分

=
…………………………………9分

又
,

…11分

…………………………………12分

19、解 （1）
…………………………4分

（2）假设存在一个实常数
，使得数列
为等差数列，则

成等差数列，所以
，……6分

所以
，解之得
.……………8分

因为
…11分

又
，所以存在一个实常数
=1，使得数列
是首项为
，

公差为
的等差数列.…12分

20、（1）证明 取
的中点
连结

,
为正三角形，

又

,

平面
,同理可证

又
平面
…4分.

（2）取
的中点
，连结

且
又
且

，四边形
是平行四边形，
而
平面

平面
平面
…………………8分

（3）取
的中点
过
作
于点
连结

则
又
平面

是二面角
的平面角.

在
中，

又
∽
,
.

在
中，可求得

，

故二面角
的余弦值为
………………12分.

（注：若（2）、（3）用向量法解题，证线面平行时应说明
平面
内，否则扣1分；求二面角的余弦值时，若答案为负值，亦扣1分.）

21、解

（1）设椭圆的标准方程为
，有椭圆的定义可得

又

故椭圆的标准方程为
…………………………4分.

（2）设直线
的方程为
，

由
得
，依题意
，

…………………………6分

设
，

则
，………………7分

，……………8分

由点到直线的距离公式得
，………………9分

……………10分

设

，

当且仅当
时，上式取等号，

所以，
面积的最大值为
…………………12分

22、解

（1）由题意知，
的定义域为
，

时，由

得

当
时，
，

，
单调递减，当
时，
单调递增. …2分

所以

又因为

所以

所以
，
……………4分

（2）依题意，
在
上有两个不等实根，即
在
上有两个不等实根，…6分

设
，则
，解得
……8分

（3）
=
，

显然，当
时，
所以
在
上单调递增，

所以，当
时，
恒成立.…10分

令
，则有
…12分