2014～2015学年度第一学期第一次单元检测数学试题（理科）

2014年10月

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1、设全集
，则图中阴影部分表示的集合为

A.
B.
C.
D.
?

2、函数
的定义域为（ ）

A.
B.
C.
D.

3、已知函数
的定义域为
,且
为偶函数,则实数的值可以是

A．
????? B．??????C．?????? D．

4、函数
，
为
的导函数，令
，则下列关系正确的是

A．
　　 ?B．
　C．
　D．

5．若当
时,函数
始终满足
,则函数
的图象大致为

6．已知命题:函数
在
内恰有一个零点;命题:函数
在
上是减函数.若且
为真命题,则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．
或

7．化简
的结果是

A．
B．1 C．
D．

8、已知函数
的定义域为
，
是奇函数，且当
时，
，若函数
的零点恰有两个，则实数的取值范围是

A．
?? ? B．
C．
???? D．
或

9、当
时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．定义方程
的实数根
为函数
的“新驻点”,若函数
的“新驻点”分别为
,则

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、设偶函数
对任意
，都有
，且当
时，
，则
)的值是____________．

12、已知
，奇函数
在
上单调，则字母
应满足的条件是?????? ．

13、已知函数
，则函数
图象与直线
围成的封闭图形的面积是________．

14、若函数
在区间
上单调递减，则实数的取值范围是 ??????????.

15．关于函数
有下列命题:

①函数
的图象关于轴对称; ②在区间
上,函数
是减函数;

③函数
的最小值为
; ④在区间
上,函数
是增函数.

其中是真命题的序号为______________.

三、解答题（共6小题，共75分）

16．（本题满分12分）

设命题
函数
是上的减函数,命题
函数
,
的值域为
,若“且”为假命题,“或”为真命题,求实数的取值范围.

17．（本题满分12分）

设集合
。

(1)若
，求实数的取值范围；

(2)若
中只有一个整数，求实数的取值范围.

18、（本题满分12分）

设点在曲线
上，从原点向
移动，如果直线
，曲线
及直线
所围成的封闭图形的面积分别记为
.

(1)当
时，求点的坐标；

(2)当
有最小值时，求点的坐标和最小值.

19. （本题满分12分）

设函数
,其中a为正实数.

(l)若x=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;

(2)若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求a的取值范

围;并由此判断曲线
与曲线
在
交点个数.

20．（本题满分13分）

已知函数
.

（1）若
，求曲线
在
处的切线方程；

（2）若对任意的
，都有
恒成立，求的最小值；

（3）设
，若
，为曲线
的两个不同点，满足
，且
，使得曲线
在
处的切线与直线
平行，求证：
.

21. （本题满分14分）

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数的取值范围；

（3）当
时，函数
图象上的点都在
所表示的平面区域内，求实数的取值范围．

2014～2015学年度第一学期第一次单元检测

高三数学试题参考答案

一．选择题

1-5 BCBAB 6-10 CCDAD

二．填空题

11.
12.
13.
14.
15.①③④

16.解：命题真
,命题真
……6分

且为假,或为真,则
一真一假

若真假,得
若假真,得
.

综上所述,的取值范围为
……………………12分

17、解(1)m的取值范围是
. …………6分

(2) m的取值范围是
. ………………12分

18. 解：(1)设点的横坐标为
,则点的坐标为
,直线
的方程为
,

解得：
,所以点
.……………………………6分

（2）

,
解得
,
解得
,

所以,
在
上单调递减,在
上单调递增.

故
,此时
……………………………12分

19解:(1) 由
得
,
的定义域为:

函数
的增区间为
,减区间为
……………………3分

(2)由

若
则
在
上有最小值

当
时,
在
单调递增无最小值 ……………………………5分

∵
在
上是单调增函数∴
在
上恒成立

∴
综上所述的取值范围为
…………8分

此时
即
,

则 h(x)在
单减,
单增,

极小值为
. 故两曲线没有公共点 ……………………………12分

20．（1）
=0,斜率
,

所以,曲线y=
在x=0处的切线方程为
………………………
2 分

（2）

恒成立

-
0恒成立

另
=
-
,0,
=
-1+=
,0

若
,则
=0恒成立,∴函数
在
为单调递增函数,

恒成立,又
=0,∴
符合条件

若
,由
=0,可得
=1-,解得

和
-
（舍去）

当

时,
<0;当

时,
>0

∴
=

∴
<
=0,这与
0恒成立矛盾.

综上,
,∴的最小值为1 ………………………………………
8 分

（3）

又
,

由
,易知函数
在定义域内为单调递减函数.

欲证
证明
,

即
,变形可得
,

令
,原不等式等价于
.

令
则

所以
在
上单调递增,故

所以
在
上单调递增 ,

在
上恒成立.

所以
成立.故
得证. …………… 13分

21.解析：（I）当
时,

,

由
解得,
；由
解得
,

故当
时,
单调递增；当
时,
单调递减,

当
时,函数
取得极大值
.　 …………… 4分

（II）
函数
在区间
上单调递减,

在区间
上恒成立,即
在
上恒成立,

只需
不大于
在
上的最小值即可. ……………………… 6分

而
,则当
时,
,

,即
,故实数的取值范围是
. …………… 9分

（III）因
图象上的点在
所表示的平面区域内,

即当
时,不等式
恒成立,即
恒成立,

设
,只需
即可.

由

（i）当
时,
,当
时,
,函数
在
上单调递减,故
成立.

（ii）当
时,由
令