济钢高中2014—2015学年第一学期高三数学试题（理科）

2014-10

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合
，
，则

A．
B.
C.
D.

2.函数
的定义域为

A．
　　　 B．
　　　C．
　　　 　D．

3.以下有关命题的说法错误的是

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
”

B．“
”是“
”的充分不必要条件；

C．若
为假命题，则
均为假命题；

D．对于命题
.

4.己知函数f（x）=
，则f（5）的值为

A．1 B．
C．
D．

5.设二次函数
，如果
，则
等于

A.
B.
C.
D.

6.设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c的大小关系是

A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a

7.已知
且
,则
是
的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 函数y＝2x－x2的图象大致是

9.已知偶函数
满足条件f(x+1)=f(x-1),且当
时，f(x)=
则
A
B.
C.
D. 1

10.已知函数
是定义在R上的可导函数，其导函数记为
，若对于任意实数x，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
=__________.

12.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝________.

13.设集合
.

14.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为 __________.

15.设函数
的定义域为D，若函数
满足下列两个条件，则称
在定义域D上是闭函数．①
在D上是单调函数；②存在区间
，使
在
上值域为
．如果函数
为闭函数，则
的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共6小题, 共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（12分）已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1>0对

?x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

17.（12分）已知f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－(a∈R)．

(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；

(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．

18.（12分）已知函数

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．

19.（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，试问应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

P

20.（13分）设
.

（1）求
的单调区间和最小值；

（2）讨论
与
的大小关系；

（3）求的取值范围，使得
＜
对任意＞0成立.

21.（14分）已知函数
有两个极值点
，且
．

（1）求实数的取值范围，并讨论
的单调性；

（2）证明:

高三理科数学试题参考答案

一、选择题 BDCAC；ACADB

二、填空题 16； 1； 0或1； ；

三、解答题

16.解：由命题p，得a>1，对于命题q，因x∈R，ax2－ax＋1>0恒成立，

又因a>0，所以Δ＝a2－4a<0，即0

当p真q假时 ，所以a≥4.

当p假q真时，即0

综上可知，a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．

17.解：(1)∵f(x)为定义在[－1,1]上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，

∴f(0)＝0，即f (0)＝－＝1－a＝0.∴a＝1.

设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．∴f(－x)＝－＝4x－2x.

又∵f(－x)＝－f(x)∴－f(x)＝4x－2x.∴f(x)＝2x－4x

(2)当x∈[0,1]，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，∴设t＝2x(t>0)，则f(t)＝t－t2.

∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.

18.解：(1)当a＝－1时，f(x)＝
，令g(x)＝－x2－4x＋3，

由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，

即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有

，解得a＝1.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，要使y＝h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能有

a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.

19. 解：（1）由题意知, 包装盒的底面边长为
,高为
,所以包装盒侧面积为

S=

=
,当且仅当
,即
时,等号成立,

所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，应15cm.

（2）包装盒容积V=

=
,

所以

=
,令
得
; 令
得
,

所以当
时, 包装盒容积V取得最大值,此时的底面边长为
,高为
,包装盒的高与底面边长的比值为
.

21.解：（1）函数
的定义域为