涡阳县第四中学2015届高三上学期第三次月考

数学（文）试题

第 I 卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

1.复数
的虚部为（ ）

A．－l B．
C．－
D．－

2. 已知
，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

3.已知关于
的方程
的两个实数根
满足
，
，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.
是不同的直线，
是不重合的平面，下列结论正确的是（ ）

A．若
B．若

C．若
D．若

5. 已知函数
（其中
）的部分图象如右图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象（ ）

A.向右平移
个长度单位 B.向右平移
个长度单位

C.向左平移
个长度单位 D.向左平移
个长度单位

设
是等差数列的前
项和，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

7.若正数
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
　　 Ｂ．
　　 C．
　　　 D．

8. 抛物线
上的点到直线
距离的最小值是（ ）

A．
Ｂ．
C．
D．3

9. 已知
为
上的可导函数，当
时，
，则关于
的函数的零点个数为（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

10.在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足

则
的面积与
的面积之比为（ ）

A．1:2 B．
C． 12:13 D． 13:25

第 II 卷

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.函数
的定义域为 .

12.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的
值是___ .

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中
是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________ .

14. 定义在
上的函数
满足
是偶函数且
是奇函数，又
，则
；

15. 角
的顶点在坐标原点
，始边在
轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点
，且
；角
的顶点在坐标原点
，始边在
轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点
，且
．对于下列结论：

①
（－
，－
）； ②
＝
； ③
； ④
的面积为
，

其中正确结论的编号是

三、解答题（本大题6小题，共75分）

16．（本题满分12分）在
中，内角
的对边分别为
已知
．

（1）求
的值；

（2）求
的值．

17.（本题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

（2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

18.（本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=
，D是CB延长线上一点，且BD=BC．

（1）求证：直线BC1∥平面AB1D；

（2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．

19.（本题满分13分）设数列
的前
项和为
，点
在直线
上，
.

（1）求证：数列
是等比数列，并求其通项公式；

（2）设直线
与函数
的图像交于点
，与函数
的图像交于点
，记
（其中
为坐标原点），求数列
的前
项和
.

20．（本题满分13分）已知椭圆
的右焦点为
，实轴的长为
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）过点
作两条互相垂直的直线分别交椭圆
于点
和
，求
的最小值．

21.（本题满分13分）已知函数
.

（Ⅰ）若
在
处取得极大值，求实数a的值；

（Ⅱ）若
，直线
都不是曲线
的切线，求
的取值范围；

（Ⅲ）若
，求
在区间［0，1］上的最大值。

数学参考答案（文科）

一、选择题

1.C 2.C 3.B 4. D 5.A 6.A 7.Ｂ 8.Ｂ 9. C 10.D

二、填空题

11.

12.8

13.

14.1

15.①②④（只给全分，多写少写均不得分）

三、简答题

16.解：（1）由题可知：
，又
，故
.……………………………3分

由余弦定理可知

=
.即
……………………………6分

（2）由（1）知
，

则有

.……………………………………………10分

故
=

……………………………………………………………12分

17.解：（1）由茎叶图知：设样本中甲班10位同学的平均身高为
，乙班10位同学的平均身高为
.则

=

=170
……………………………………………………………………2分

=

=171.1
……………………………………………………………………4分

，据此可以判断乙班同学的平均身高较高.

（2）设甲班的样本方差为
，由（1）知
=170
.则

…6分

=57.2
…………………………………………………………………………………8分

（3）由茎叶图可知：乙班这10名同学中身高不低于173cm的同学有5人，身高分别为173cm、176cm、178cm、179cm、181cm.这5名同学分别用字母A、B、C、D、E表示.则记“随机抽取两名身高不低于173cm的同学”为事件Ω，则Ω包含的基本事件有：

[A,B]、[A,C]、[A,D]、[A,E]、[B,C]、[B,D]、[B,E]、[C,D]、[C,E]、[D,E]

共10个基本事件.……………………………………………………………………10分

记“身高为176cm的同学被抽中”为事件M，

则M包含的基本事件为：[A,B]、[B,C]、[B,D]、[B,E]共4个基本事件.

由古典概型的概率计算公式可得：
.………………………12分

18.（1）证明：由三棱柱ABC﹣A1B1C1可知：BC
B1C1，又D是CB延长线上一点，且BD=BC，故BD
B1C1，则四边形BDB1C1为平行四边形.故BC1∥DB1．

又
平面AB1D

且
平面AB1D

故BC1∥平面AB1D.……………………………………………………………………6分

（2）由A点向BC作垂线，垂足记为E点，则AE
BC.

又AA1
底面ABC，且AA1∥CC1．故CC1
底面ABC.

则CC1
AE.故点A到平面BB1C1的距离为AE.

又ABC是边长为3的正三角形，故AE=

则
=
………………………12分

19.解：（1）由题可知：
，
时
.

两式相减，得
.

又
，
.

数列数列
是以1为首项，
为公比的等比数列.

故
.…………………………………………………………………6分

（2）根据题意得：
.

……………………………………9分

两式相减得：

化简得：
…………………13分

20．解：（1）由题可知：椭圆的焦点在
轴上，其标准方程可设为：

又实轴的长为
，则
，
；
，故
.

故椭圆的标准方程为：
…………………………………………4分

（2）由题可知：

1°当
或
所在的直线斜率为零时，另一条直线的斜率不存在，此时