成都七中高2015届高三上学期期中数学试题（文科）

满分150分，考试时间120分钟

出题人：江海兵 审题人：廖学军

一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.

1.
中，角
的对边分别为
，若
，则
（ ）

答案：

解析：

2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布。（不作近似计算）（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：C

解析：由题可知,是等差数列,首项是5,公差为
,前30项和为390.根据等差数列前
项和公式,有
,解得
.

3．若
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）

答案：D

解析：由题意可知
，在
上恒成立，

即
在
上恒成立，
且

要使
，需
故答案为
，选D

4．已知c＞1，
－
，
－
，则正确的结论是(　　)

A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a、b大小不定

答案：A

解析：
－

－
=
，易看出分母的大小，所以a＜b

5．已知数列
满足
，则
等于(　　)

答案：B

解析：根据题意，由于数列{an}满足a1＝0，an＋1＝
，那么可知∴a1=0，a2=-
，a3=
，a4=0，a5=-
，a6=
…，故可知数列的周期为3，那么可知
，选B.

6．在
中，若
、
、
分别为角
、
、
的对边，且
，则有（ ）

．
成等比数列
．
成等差数列
．
成等差数列
．
成等比数列

答案：D

解析：由
变形得：
，

，

∴上式化简得：
，
，

即
，由正弦定理
得：
，则
成等比数列．故选D

7.设
是
所在平面上的一点，且
是
中点，则
的值为（ ）

答案：

解析：
为
中点，

8．已知函数
当
时，
取得最小值
，则在直角坐标系中函数
的图像为（ ）

答案：B

解析：因为x∈（0，4），∴x+1＞1，故

当且仅当
时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论选B.

9．下列说法正确的是（ ）

A．函数
的图象与直线
可能有两个交点；

B．函数
与函数
是同一函数；

C．对于
上的函数
，若有
，那么函数
在
内有零点；

D．对于指数函数
(
)与幂函数
(
)，总存在一个
,当
时，就会有
．

答案：D

解析：因为选项A中最多有个交点，选项B中，不是同一函数，定义域不同，选项C中，函数不一定是连续函数，故选D.

10．若存在过点(1,0)的直线与曲线
和
都相切,则
( )

A.
或
B.
或
C.
或
D.
或

答案：A

解析：由
求导得
设曲线
上的任意一点
处的切线方程为
，将点
代入方程得
或
.

（1）当
时：切线为
，所以
仅有一解，得

（2）当
时：切线为
,由
得
仅有一解，得
.

综上知
或
.

二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上.

11．
__ ．

答案：

解析：略

12.已知指数函数
，对数函数
和幂函数
的图像都过
，如果
，那么

答案：

解析：令
则
，

13．

答案：

解析：

，

,

又因为
与
不共线,所以
,所以

14.已知命题p：函数
在
内有且仅有一个零点．命题q：
在区间
内恒成立．若命题“p且q”是假命题，实数
的取值范围是 ．

答案：

提示：先确定p且q为真命题的
的取值范围，然后取补集可得结果.

15.给出定义：若
，则
叫做实数
的“亲密函数”，记作
，在此基础上给出下列函数
的四个命题：

①函数
在
上是增函数；②函数
是周期函数，最小正周期为1；

③函数
的图像关于直线
对称；

④当
时，函数
有两个零点.

其中正确命题的序号是

答案：②③④

解析：
时，
，当
时，

当
时，
，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出
的图像可判断有两个交点，④对

三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.

16.（12分）已知函数

（1）求
得最小正周期；（2）求
在区间
上的取值范围.

解析：（1）

（2）

的取值范围为

17. （12分）已知数列
满足
.

（Ⅰ）证明数列
是等差数列；（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
，求数列
的前
项和
.

解析:（Ⅰ）由已知可得
，所以
，即
，

∴数列
是公差为1的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，∴
. .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
，所以
，

，相减得

，

∴

18.(12分)
为一个等腰三角形形状的空地，腰
的长为3（百米），底
的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路
（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为
和
.

（1）若小路一端
为
的中点，求此时小路的长度；

（2）若小路的端点
两点分别在两腰上，求
得最小值.

解：（1）
为
中点，
，
不在
上，故
在
上，可得
，

在
中，
，在
中，
，

（2）若小路的端点
两点分别在两腰上，如图所示，

设
，则