海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）

2014.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合
，
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（2）已知向量
，
. 若
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（3）若等比数列
满足
，且公比
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（4）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）



 （A）向左平移
个单位

（B）向左平移
个单位



（C）向右平移
个单位

（D）向右平移
个单位



（5）设
，
，
，则（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（6） 设
，则“
且
”是“
”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





（7）已知函数
若关于的方程
有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（8）设等差数列
的前项和为
.在同一个坐标系中，
及
的部分图象如图所示，则（ ）





（A）当
时，
取得最大值

（B）当
时，
取得最大值



（C）当
时，
取得最小值

（D）当
时，
取得最小值





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）设复数
，则
______．

（10） 已知函数
的图象关于轴对称，则实数的值是 .

（11）
________.

（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度
（单位：
）随时间（单位：）的变化关系为
，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.

（13）如图所示，在△ABC中，为
边上的一点， 且
.若
，则
.

（14）已知函数
（
是常数，
）的最小正周期为,设集合
{直线
为曲线
在点
处的切线，
}.若集合
中有且只有两条直线互相垂直，则= ； = .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的单调递增区间.

（16）（本小题满分13分）

已知
是各项均为正数的等比数列，
，且
成等差数列.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
.

（17）（本小题满分13分）

如图所示，在四边形
中，
，且
.

（Ⅰ）求△
的面积；

（Ⅱ）若
，求
的长.

（18）（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
,求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）若
，求函数
在区间
上的最大值；

（Ⅲ）若
在区间
上恒成立，求的最大值.

（19）（本小题满分13分）

已知数列
的前项和
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）判断数列
是否为等差数列，并说明理由.

（20）（本小题满分14分）

设函数
，为曲线
在点
处的切线.（Ⅰ）求L的方程； （Ⅱ）当
时，证明：除切点
之外，曲线C在直线L的下方；

（Ⅲ）设
，且满足
，求
的最大值．

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学（理）答案及评分参考 2014.11

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）C （4）B

（5）B （6）A （7）D （8）A

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）
（10）
（11）

（12） （13）
（14）2；

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）
. ……………… 3分

（Ⅱ）

……………… 5分

.

……………… 9分

函数
的单调递增区间为
，

由
， ……………… 11分

得
.

所以
的单调递增区间为
. ……………… 13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
成等差数列，

所以
. ……………… 2分

设数列
的公比为
，由
可得
， ……………… 4分

即
.

解得：
或
（舍）. ……………… 5分

所以
. ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
.

所以
………………8分

………………9分

. ……………… 13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，
，

所以
. ……………… 3分

因为
，

所以
. ……………… 5分

因为
，

所以 △
的面积
.

……………… 7分

（Ⅱ）在△
中，
.

所以
. ……………… 9分

因为
，
， ……………… 11分

所以
.

所以
. ……………… 13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当
时，
.

，
. ……………… 2分

令
.

因为
，

所以
. ……………… 3分

所以 函数
的单调递减区间是
. ……………… 4分

（Ⅱ）
,
.

令
，由
，解得
，
（舍去）. ……………… 5分

当
，即
时，在区间
上
，函数
是减函数.

所以 函数
在区间
上的最大值为
； ……………… 7分

当
，即
时，在
上变化时，
的变化情况如下表















+



-







↗



↘





所以 函数
在区间
上的最大值为
.

……………… 10分

综上所述：当
时，函数
在区间
上的最大值为
；

当
时，函数
在区间
上的最大值为
.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当
时，
在区间
上恒成立；

……………… 11分

当
时，由于
在区间
上是增函数，

所以
,即在区间
上存在
使得
.

……………… 13分

综上所述，的最大值为. ……………… 14分

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：由题意知：
，即
.

解得：
. ……………… 2分

（Ⅱ）证明：因为
，

所以
（
）. ……………… 4分

因为
（
）. ……………… 6分

所以
，即
.

……………… 7分

（Ⅲ）数列
是等差数列.理由如下： ……………… 8分

又
（
），由（Ⅱ）可得：

（
）. ……………… 9分

所以
，

即
. ……………… 11分

因为
，

所以
，即
（
）.

所以 数列
是以1为首项，
为公差的等差数列. ………………13分

（20）（共14分）

解