海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文）

2014.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（2）若等比数列
满足
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）
或

（D）
或



（3）设
，
，
，则（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



（4）已知点
，向量
，那么（ ）



 （A）

（B）
∥

（C）

（D）



（5）已知函数
（为常数），则函数
的图象恒过点（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（6）设
，则“
”是“
”的（ ）



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件



（7）函数
在区间
内的零点个数为（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（8）设等差数列
的前项和为
.在同一个坐标系中，
及
的部分图象如图所示，则（ ）





（A）当
时，
取得最大值

（B）当
时，
取得最大值



（C）当
时，
取得最小值

（D）当
时，
取得最小值





二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知角的终边过点
，则
______．

（10）已知
（为虚数单位），则实数的值为_____．

（11）已知两个单位向量
的夹角为
，且满足
，则实数的值是________.

（12）已知函数
则
_______；
的最小值为 .

（13）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度
（单位：
）随时间（单位：）的变化关系为
，则经过_______后池水中药品浓度达到最大.

（14）已知全集
，集合是集合
的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
，则
.

则集合
___________.（用列举法表示）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的单调递增区间.

（16）（本小题满分13分）

设数列
是首项为，公差为
的等差数列，且
是等比数列
的前三项.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
.

（17）（本小题满分13分）

如图所示，在四边形
中，
，且
.

（Ⅰ）求△
的面积；

（Ⅱ）若
，求
的长.

（18）（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
的图象关于点
对称，直接写出的值；

（Ⅱ）求函数
的单调递减区间；

（Ⅲ）若
在区间
上恒成立，求的最大值.

（19）（本小题满分13分）

已知数列
满足
，
为其前项和，且
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）判断数列
是否为等差数列，并说明理由.

（20）（本小题满分14分）

已知函数
，
，设曲线
在点
处的切线方程为
. 如果对任意的
，均有：

①当
时，
；

②当
时，
；

③当
时，
，

则称
为函数
的一个“? -点”.

（Ⅰ）判断
是否是下列函数的“? -点”：

①
； ②
.（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数
.

（ⅰ） 若
，证明：是函数
的一个“? -点”；

（ⅱ） 若函数
存在“? -点”，直接写出的取值范围.

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学（文）答案及评分参考 2014.11

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）A （3）D （4）B

（5）D （6）A （7）C （8）A

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）
（10）1 （11）

（12）
；
（13） （14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）
. ……………… 3分

（Ⅱ）

……………… 5分

.

……………… 9分

函数
的单调递增区间为
，

由
， ……………… 11分

得
.

所以
的单调递增区间为
. ……………… 13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题意可知：
. ……………… 2分

因为
成等比数列，

所以
. ………………4分

因为
，

所以
.

若
，则
，与
成等比数列矛盾.

所以
.

所以
. ……………… 7分

所以
. ………………9分

（Ⅱ）因为
，
， ……………… 11分

所以 等比数列
的首项为，公比为.

所以
. ……………… 13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，
，

所以
. ……………… 3分

因为
，

所以
. ……………… 5分

因为
，

所以 △
的面积
. ……………… 7分

（Ⅱ）在△
中，
.

所以
. ……………… 9分

因为
，
， ……………… 11分

所以
.

所以
. ……………… 13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）的值是0. ……………… 2分

（Ⅱ）
. ……………… 4分

当
时，
，
在
内单调递增；

当
时，由
得：
；

当
时，由
得：
. ……………… 7分

综上所述，当
时，无递减区间；当
时，
的单调递减区间是
；

当
时，
的单调递减区间是
.

（Ⅲ）因为
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立.

所以
在区间
上恒成立. ………………10分

因为
，

所以
. ……………… 11分

所以
. ……………… 13分

所以 若
在区间
上恒成立，的最大值为1. ……………… 14分

（19）（共13分）

（Ⅰ）解：由题意知：
，即
.

所以
. ……………… 2分

因为
，

所以
. ……………… 3分

（Ⅱ）证明： 因为
，

所以
（
）. ……………… 4分

因为
， ……………… 6分

所以
，即
.

因为
，

所以
. ……………… 8分

（Ⅲ）数列
是等差数列.理由如下： ………………9分

由（Ⅱ）得：
.

所以
，即
. ……………… 11分

由（Ⅰ）知：
，所以
.

所以 数列
是以为首项，为公差的等差数列. ……………… 13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ） ①0是
的“? -点”；

②0不是
的“? -点”. ……………… 2分

（Ⅱ）当
时，
.其定义域为
，
（
）.

（ⅰ）因为
，
.

所以
在点
处的切线方程为
，

即
. ……………… 4分

令
.