内蒙古赤峰市2015届高三（上）第一次统考

数学试卷（理科）

一、选择题（共25题，每题2分，共50分）

1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则?U（A∩B）=（　　）

　 A． {4} B． {3，5} C． {1，2，4} D． ?

2．复数
的虚部是（　　）

　 A．﹣
i B．
i C． ﹣
D．

3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（　　）

　 A． l1∥α且l2∥α B． l1⊥α且l2⊥α C． l1∥α且l2?α D． l1∥α且l2?α

4．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（　　）

　 A． 1
B．
C． 1
D． 1

5．给出性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=
对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（　　）

　 A． y=sin（2x+
） B． y=sin（2x+
） C． y=sin（2x﹣
） D． y=sin（x+
）

6．已知命题p：?x＞0，x+
＞2，命题q：“x=2“x2﹣5x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（　　）

　 A． p∧（￢q） B． q∧（￢p） C． p∨q D． p∨（￢q）

7．（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

　 A．
B． 1 C．
D． 3

8．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（xn，yn）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（　　）

　 A． 80 B． 81 C． 79 D． 78

9．设x，y满足约束条件
，则
的取值范围是（　　）

　 A． [2，5] B． [1，5] C． [
，5] D． [
，2]

10．△ABC中，AB=
，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（　　）

　 A．
B．
C．
D．

11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（　　）

　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

12．过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=
的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若
=
（
+
），则双曲线的离心率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分

13．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆
的左焦点重合，则p的值为　_________　．

14．（5分）曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为　_________　．

15．（5分）二项式（2
﹣
）6展开式中常数项是　_________　．

16．（5分）若向量
=（x﹣1，2），
=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为　_________　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d．

（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn公式；

（2）求数列{3n﹣1an}的前n项和Tn．

18．（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．

（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；

（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

20．（12分）已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．

（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．

（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣
﹣bx（a≠0）．

（I） 若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．

四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）（2013?郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．

（1）求证：AG?EF=CE?GD；

（2）求证：
．

23．（10分）（已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为
（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

24．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．

（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；

（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．



三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17． 解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．

利用韦达定理得
，解得a=1，d=2．

由此知an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
．（6分）

（2）令
，

则
，
，（8分）

两式相减，得
（10分）

=

=﹣2﹣2（n﹣1）?3n．

∴
．（12分）

18． 解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，

则
，
．

因为事件A，B互斥，

所以
．

故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是
．

（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．

其中
，
，
．

所以ξ的分布列是：

ξ 0 1 2

p

所以
．

19． 解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，（4分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD； （6分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．

取AO中点M，连OG，EO，EM，

∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，

故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求 （11分）

在RT△EOM中，EM=
OM=1

∴tan∠EOM=
，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）

20． 解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，

x=﹣
，y=﹣
，

则P（﹣
，﹣
），

则|PF1|+|PF2|=
+
=2
，

则a=
，c=1，b=1；

则椭圆C的方程为
．

（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），

使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQt?kQs=k（k为定值），

即
=k，将y2=1﹣
代入并整理得

（k+
）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）

由题意，（*）式对任意x∈（﹣
，
）恒成立，

所以k+
=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；

解得k=﹣
，s=
，t=﹣
；或k=﹣
，s=﹣
，t=
；．

所以有且只有两定点（
，0），（﹣
，0），

使得kQt?kQs为定值﹣
．

21． 解：（I）当b=2时，f（x）=lnx﹣
﹣2x（x＞0），则

因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．

又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．

①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；

②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，若ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；

则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．

综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）

（II） 设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为

∵f（x2）﹣f（x1）=lnx2﹣lnx1﹣
=0

∴lnx2﹣lnx1=

f′（x0）=
=
×[
]

设
，则y=
=
，t＞1

令r（t）=
，则

因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．

故r（t）＜r（1）=0

而
＞0．故f′（x0）＜0．

22． 证明：（1）连接AB，AC，

∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，

∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，

∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，

∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，

∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，

∴△CEF∽△AGD，

∴
，

∴AG?EF=CE?GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，

∠G=∠G，

∴△DFG∽△AGD，

∴DG2=AG?GF，

由（1）知
，

∴
．

23． 解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；

对于l：由
（t为参数），

得
，即
．（5分）

（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，

则弦心距
，

弦长
，

因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积
．（10分）

24． 解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，

当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；

当a＞1时，解集为全体实数R；

当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．

（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，

即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）

又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，

故m的取值范围是（﹣∞，5）．