内蒙古赤峰市2015届高三（上）第一次统考

数学试卷（文科）

一、选择题（共12题，每题5分，共60分）

1．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y＞1}，则A∩B=（　　）

　 A． {x|﹣2≤x≤1} B． {x|1＜x＜2} C． {x|x＞2} D． {x|﹣2＜x＜1或x＞2}

2．复数
（i为虚数单位）的值为（　　）

　 A． i B． 1 C． ﹣i D． ﹣1

3．下列有关命题的说法正确的是（　　）

　 A． 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”

　 B． “x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件

　 C． 命题“对任意x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“存在x∈R使得x2﹣x+1＜0”

　 D． 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为真命题

4．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤
），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是（　　）

　 A．（2，
） B． （2，
） C． （4，
） D． （4，
）

5．已知x，y满足线性约束条件
，若
=（x，﹣2），
=（1，y），则z=
?
的最大值是（　　）

　 A．﹣1 B．
C． 7 D． 5

6．设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（　　）

　 A．函数f（x）一定是个偶函数 B． 函数f（x）一定没有最大值

　 C．区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间 D． 函数f（x）不可能有三个零点

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

　 A．
B． 1 C．
D． 3

8．已知图甲中的图象对应的函数y=f（x），则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（　　）

　 A． y=f（|x|） B． y=|f（x）| C． y=f（﹣|x|） D． y=﹣f（|x|）

9．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（xn，yn）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（　　）

　 A． 80 B． 81 C． 79 D． 78

10．已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　）

　 A． 7 B． 5 C． ﹣5 D． ﹣7

11．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

12．已知函数f（x）=x3﹣log2（
﹣x），则对于任意实数a、b（a+b≠0），
的值（　　）

　 A．恒大于0 B． 恒小于1 C． 恒大于﹣1 D． 不确定

二、填空题：共4题，每题5分，共20分

13．已知函数f（x）=
，则f（f（
））的值是　_________　．

14．已知抛物线y2=﹣8x的准线过双曲线
的右焦点，则双曲线的离心率为　_________　．

15．曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为　_________　．

16．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是　_________　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当
时，求函数f（x）的最大值，并写出x的相应的取值．

18．（3分）如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，点G为边BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB，AC，AG，形成如图乙所示的几何体．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面AFG

（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．

19．（3分）某公司生产A、B两类产品，每类产品均有一般品和优等品两种，某月的产量如下表：

A

B



优等品

100

x



一般品

300

400



按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取50个，其中A类20个．

（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在B类中抽取一个容量为6个的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个优等品的概率．

20．（3分）已知椭圆C：
的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．

（1）求椭圆C的方程．

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，且△AOB的面积为
，求：实数k的值．

21．（3分）已知函数f（x）=x2ln|x|．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．

四、选做题：满分9分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（3分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．

（1）求证：AG?EF=CE?GD；

（2）求证：
．

23．（3分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为
（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

24．（3分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．

（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；

（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．



三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17． 解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+
，

故最小正周期为 T=
=
=π．

（2）当
时，∵0≤x≤
，∴
≤2x+
≤
，∴﹣
≤sin（2x+
）≤1，

∴0≤1+
≤1+
，故函数f（x）的最大值为 1+
．

此时，2x+
=
，x=
．

18． （Ⅰ）证明：在图甲中，由△ABC是边长为6的等边三角形，

E，D分别为AB，AC靠近B，C的三等分点，

点G为边BC边的中点，得

DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，

在图乙中仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F，

∴DE⊥平面AFG，

∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG；

（Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED，

∴AF⊥平面BCDE，

∴VA﹣BCDE=
AF?SBCDE=
×
×4×（
36﹣
×16）=10．

19． 解：（Ⅰ）由每个个体被抽到的概率都相等，可得
=
，

解得x=200． …（4分）

（Ⅱ）抽取容量为6的样本，由于优等品所占的比例为
=
，一般品所占的比例为
=
，

则抽出的产品中，优等品为 6×
=2个，一般品为6×
=4个．

从样本中任意取2个，所有的取法种数为
=15，其中没有优等品的取法种数为
=6，

故没有优等品的概率为
=
，

所以至少有一个优等品的概率是 1﹣
=
． …（12分）

20． 解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
，

∴b=1，∴所求椭圆方程为
．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由已知
，得
．

又由
，消去y得：

（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴
，
．

∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=
=

又
，

化简得：9k4﹣6k2+1=0

解得：

21． 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}

当x＞0时，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜
，则f'（x）＜0，f（x）递减；

若x＞
，则f'（x）＞0，f（x）递增．

递增区间是（﹣
，0）和（
，+∞）；

递减区间是（﹣∞，﹣
）和（0，
）．

（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．

函数f（x）的图象如图．

先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．

当k＞0时，f'（x）=x?（2lnx+1）

设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），

将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）

即a2lna+a2﹣1=0（*）

显然，a=1满足（*）

而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，

当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0

∴（*）有唯一解a=1

此时k=f'（1）=1

再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，

∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．

22． 证明：（1）连接AB，AC，

∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，

∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，

∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，

∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，

∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，

∴△CEF∽△AGD，

∴
，

∴AG?EF=CE?GD

（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，

∠G=∠G，

∴△DFG∽△AGD，

∴DG2=AG?GF，

由（1）知
，

∴
．

23． 解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；

对于l：由
（t为参数），

得
，即
．

（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，

则弦心距
，

弦长
，

因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积
．（10分）

24． 解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，

当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；

当a＞1时，解集为全体实数R；

当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．

（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，

即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）

又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，

故m的取值范围是（﹣∞，5）．