第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．定义
，若
，则
（▲） A．
B．
C．
D．

2．“
”是“
”的（▲）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．直线
与圆
相交于
两点,则弦
的长度等于（▲）

A．
B．
. C．
D．1

4．已知
为等比数列，下面结论中正确的是（▲）

A．
B．

C．若
,则
D．若
,则

5．设点O是边长为1的正△ABC的中心（如图所示），

则
（▲）

A．
B．
C．
D．

6. 已知直线、与平面
下列命题正确的是（▲）

A．
B．

C．
D．

7．如果函数
的图象关于点
中心对称，那么
的最小值为(▲)

A．
B．
C．
D．

8．对于函数
，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有

，则称
为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是（▲）

A．
B．
C．
D．

9．设定义在区间
上的函数
是奇函数（
），则
的取值范围是（▲）

A．
B．
C．
D．

10．已知.
、
分别是椭圆
的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆
与
的延长线、
的延长线以及线段
相切，若
为其中一个切点，则 (▲)

A．
B．

C．
D．与的大小关系不确定

第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．双曲线
的两条渐近线的方程为 ▲ .

12．设
,
,则
的值是 ▲ .

13. 已知某个几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，

则这个几何体的体积是 ▲ cm3．

14．已知等比数列
中，公比
，且
，
，

则
= ▲ ．

15．已知点
的坐标满足
，设
，则
（
为坐标原点）的最大值为 ▲ ．

16.若关于的不等式
在区间
上有解,则实数的取值范围为 ▲ ．

17．若正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数的取值范围是 ▲ _．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18. （本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

．

（1）求角C的值；

（2）若
，且△ABC的面积为
，求的值．

20．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD中，
，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE

（1）设M为线段A1C的中点，求证： BM // 平面A1DE；

（2）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值．

21.（本小题满分15分）已知动圆过定点
,且与直线
相切

（1）求动圆圆心的轨迹
的方程；

（2）过点
作曲线
的两条弦
, 设
所在直线的斜率分别为
, 当
变化且满足
时，证明直线
恒过定点，并求出该定点坐标.

22．（本小题满分15分）已知函数
.

（1）若函数
为偶函数，求实数的值；

（2）若
，求函数
的单调递增区间；

（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

台州中学2014学年第一学期第二次统练试题

高三数学（文科）参考答案

（2）∵
．

∴

．

∴
， 即
，
．

∴的最小值为48． …………………………………………14分

20．解：（1）取
的中点F，连结MF，则MF//CD，且MF
CD，

即MF∕∕BE，MF= BE，故四边形BEFM是平行四边形，则BM//EF，

BM平面A1DE，EF平面A1DE，所以BM // 平面A1DE；…………………………7分

（2）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．

又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．

又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，

∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．

在Rt△A1CD中，sin∠A1CD
，

即直线CD与平面A1CE所成角的正弦值为
． ……………………………14分

21．解： (1)设圆心
, 则由题意得
，化简得
，即动圆圆心的轨迹
的方程为
………………………………7分

(2) 解法一：由题意可知直线AB的斜率存在且不为零, 可设
的方程为
,

并设
，
，联立:

代入整理得
从而有
①,
② …………9分

又
,

又
，
， ∴
． ………………11分

(

，

展开即得
，将①②代入得
,

得
：
，………………………………………………………………14分

故直线
经过
这个定点． ………………………………………………………15分

解法二：设
，
．

设
，与
联立，得
，

则
①，同理
②

，即
③

由①②:

代入③，整理得
恒成立

则
故直线
经过
这个定点．………………15分

22．

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
及
………………10分

(3)不等式
化为

即：
(*)对任意的
恒成立

因为
，所以分如下情况讨论：