兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试

数学试题

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．函数
的定义域是 ( )

A.
B.
C.
D.

2. 已知向量
,
,
,则“
”是“
”的( )

A．充要条件 B.充分不必要条件

C．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 若函数
存在零点，则实数
的取值范围是 ( )

A．
B.

C．
D.

4．在等差数列
中，已知
，则
( )

A．10 B. 18 C． 20 D．28

5．给出如下四个命题：

①若“
”为真命题，则
均为真命题；

②“若
”的否命题为“若
，则
”；

③“
”的否定是“
”；

④“
”是 “
”的充要条件．

其中不正确的命题是 ( )

A．①② B.②③ C．①③ D.③④

6．已知函数
，则
的大小关系是 ( )

A．
B.

C．
D.

7.若
是
的重心，
分别是角
的对边，且
，

则角
( )

A．
B.
C．
D.

8．已知函数
在
时取得极值，则函数
是( )

A．奇函数且图象关于点
对称 B. 偶函数且图象关于点
对称

C．奇函数且图象关于点
对称 D. 偶函数且图象关于点
对称

9．函数
的部分图象如图所示,

若
,则
等于( )

A．
B.

C．
D.

10．如图，
是半径为5的圆
上的一个定点，

单位向量
在
点处与圆
相切，

点
是圆
上的一个动点，且点
与

点
不重合，则


的取值范围是( )

A．
B.
C．
D.

11．定义在实数集
上的函数
满足
，且
.

现有以下三种叙述：①
是函数
的一个周期；②
的图象关于直线
对称；③
是偶函数.其中正确的是 ( )

A．②③ B. ①② C．①③ D. ①②③

12．(理)已知函数
，若
互不相等，且
，则
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.

（文）已知函数
，若
，且
，使得
.则实数
的取值范围是 ( )

A．
B.
C．
D.

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13.（理）
=_______________________.

（文）已知直线
与曲线
相切于点
，则实数
的值为______.

14. 若将函数
的图象向右平移
个单位，得到的图象关于直线
对称，则
的最小值为_________.

15．已知
，则
的值为 .

16．以下命题：

①若
,则
；

②向量
在
方向上的投影为
；

③若
中,
,则


；

④若非零向量
,
满足
,则
.

所有真命题的序号是______________.

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

在
中，内角
的对边分别为
且
.

(Ⅰ)求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的面积
.

18. （本小题满分12分）

已知集合
，
，
,
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围．

19. （本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

（Ⅱ）若对于任意的
，不等式
恒成立，求
．

20．（本小题满分12分）

已知
是公差为
的等差数列，它的前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求公差
的值；

（Ⅱ）若
，
是数列
的前
项和，不等式
对所有的
恒成立,求正整数
的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，函数
，其中
为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
，使得不等式
成立，试求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，对于
，求证：
．

四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.）

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知
为圆
上的四点，直线
为

圆
的切线，
，

与
相交于
点.

(Ⅰ)求证：
平分
.

(Ⅱ)若
求
的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
：
（
为参数），

：
（
为参数）.

(Ⅰ)化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(Ⅱ)若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线
（
为参数）距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
且
.证明：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
.

兰州一中2014-2015-1学期高三期中考试数学

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

C

C

B

D

A

D

B

D

C



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）

13. （理）
（文）
14.
15．
16． ①②④

三、解答题（17-21每题12分,共60分.22-24为选考题，10分.）

17．解：(Ⅰ)由正弦定理可得：
，

所以
. …………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得
，即
，

又
，所以
，解得
或
（舍去），

所以
…………………12分

18．解：（Ⅰ）
，
，

. …………………6分

（Ⅱ）
小根大于或等于-1，大根小于或等于4，

令
，则

[]
…………………12分

19．解：(Ⅰ)

， …………………3分

∵
，∴
，∴
，

∴
，即函数
在
上的值域是[－3，3] ． …………6分

（Ⅱ）∵对于任意的
，不等式
恒成立，

∴
是
的最大值，∴由
，

解得
∴
．……12分

20．解：（Ⅰ）∵
，即
，

化简得：
，解得
． ………………4分

（Ⅱ）由
，

∴
=
． …………………6分

∴

=

=
≥
， ……………………8分

又∵ 不等式

对所有的
恒成立∴
≥
，

化简得：
，解得：
．∴正整数
的最大值为6．……12分

21．解：(Ⅰ) 函数
的定义域为
，

．

①当
时，
，
在
上为增函数.

②当
时，若
，
,
在
上为增函数；

若
，
,
在
上为减函数.

综上所述，当
时，
在
上为增函数.

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数 . ………4分

(Ⅱ)

，使得不等式
成立，

，使得
成立，

令
，则
，

当
时，

，
，
，

，从而