一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合
则
（　　　）

A.
B.
C.
D.

2.设向量a，b均为单位向量，且(a＋b)
，则a与b夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x
等于(　　)

A. B.

C. D.

4．“p且q是真命题”是“非p为假命题”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5. 若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k的取值范围 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)

A．－ B．－ C. D.

7．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α=(　　)

A．－4或－2 B．－4或2

C．－2或4 D．－2或2

8.下列命题中真命题的个数是(　　)

①?x∈R，x4>x2；

②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；

③命题“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“?x∈R，x3－x2＋1>0”．

A．0 B．1 C．2 D．3

9．对于函数
，使
成立的所有常数中，我们把的最小值叫做函数
的上确界．则函数
的上确界是 （ ）

A．0 B．
C．1 D．2

10．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f ′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f ′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则的取值范围是(　　)

A．(，)

B．(－∞，)∪(3，＋∞)

C．(，3)

D．(－∞，－3)

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若
是奇函数，则
．

12．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋2，则f(1)＋f ′(1)＝________.

13.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，0<φ<的图象如图所示．

则：函数y＝f(x)的解析式为________；

14．如图，Ox、Oy是平面内相交成120°的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则将有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若＝3e1＋2e2，则||＝________；

15．设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”.若
与
在
上是“关联函数”，则的取值范围为________；

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

16.（本小题满分12分）

.对于函数
，解答下述问题：

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数的值域为
，求实数a的值；

（本小题满分12分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在
上的最小值和最大值.

20．（本小题满分13分）已知函数f(x)=
x3-2ax2+3x(x∈R).

（1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

21.（本小题满分13分）

已知函数
（
）.（Ⅰ）当
时，求
的图象在
处的切线方程；（Ⅱ）若函数
在
上有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的图象与轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

娄底市高中名校2015届高三9月联考试题

文科数学答案

7．【答案】B

【解析】当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2.

8．解析：①x＝0时，x4>x2不成立，①为假命题；②若p∧q是假命题，则p，q至少有一个是假命题，②不成立，为假命题；③正确．

答案：B

9．【答案】C【解析】
在
是单调递增的，
在
是单调递减的，所以
在R上的最大值是
，
故选C．

10，答案：C

解析：由y＝f ′(x)的图象知，当x＜0时，f ′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x＞0时，f ′(x)＞0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，

点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，的意义为阴影部分的点与点A(－2，－2)连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为、3，则的取值范围是(，3)，故选C.

二．

14．解析　由题意可得e1·e2＝cos 120°＝－.

||＝ ＝ ＝；

15．

三．

16．[解答]记
，

（1）
恒成立，
，

的取值范围是
；

（2）.∵
的值域是
，∴命题等价于
；即a的值为±1；

17．解：(1)由acosC＋c＝b和正弦定理得，

sinAcosC＋sinC＝sinB，

又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，

∴sinC＝cosAsinC，

∵sinC≠0，∴cosA＝，

∵0

(2)由正弦定理得，b＝＝sinB，c＝＝sinC，

则l＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)

＝1＋[sinB＋sin(A＋B)]

＝1＋2(sinB＋cosB)＝1＋2sin(B＋)．

∵A＝，∴B∈(0，)，∴B＋∈(，)，

∴sin(B＋)∈(，1]，

∴△ABC的周长l的取值范围为(2,3]．

19．解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

，

当且仅当
，即
时，

才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为
元．

（2）设该单位每月获利为
,

则

，

因为
，所以当
时，
有最大值
．

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴
元，才能不亏损．

21．解：（Ⅰ）当
时，
，
，切点坐标为
，

切线的斜率
，则切线方程为
，即
. 2分

（Ⅱ）
，则
，

∵
，故
时，
.当
时，
；当
时，
.

故
在
处取得极大值
. 4分

又
，
，
，则
，