一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）

1. 若集合
，集合
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2.函数
的定义域是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．设
，则“
”是“
”成立的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．已知正角的终边上一点的坐标为（
），则角的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

5. 函数
是（ ）

A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为
的奇函数 D．最小正周期为
的偶函数

7.函数
（　　）

A．在
上递增 B．在
上递增，在
上递减

C．在
上递减 D．在
上递减，在
上递增

8．在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，

则·的最大值为 (　　)

A．－  B．－ C．－ D．－

9.如图，过原点的直线
与圆
交于
两点，点在第

一象限，将轴下方的图形沿轴折起，使之与轴上方的图形成

直二面角，设点的横坐标为，线段
的长度记为
，则

函数
的图像大致是( )

10．已知函数
，若
，

且

，则
（ ）

A. 2 B. 4 C.8 D. 随值变化

第II卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．下列结论：

①若命题
命题
则命题
是假命题；

②已知直线
则
的充要条件是
；

③命题“若
则
”的逆否命题为：“若
则
”

其中正确结论的序号是
（把你认为正确结论的序号都填上）

12、已知点
和
在直线
的两侧，则的取值范围是

13.已知
为单位向量，当
的夹角为
时，
在
上的投影为 .

14．已知函数f(x)＝log3(a－3x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是________．

15.对于定义在上的函数
，若存在距离为
的两条直线
和
，使得对任意
都有
恒成立，则称函数
有一个宽度为
的通道.给出下列函数：

①
；②
；③
；④

其中在区间
上通道宽度可以为的函数有 (写出所有正确的序号).

三、解答题 （本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

16.（12分）已知命题：函数
为
上单调减函数,实数满足不等式
.命题
：当
，函数
。若命题是命题
的充分不必要条件，求实数的取值范围。

17. （12分）已知函数f(x)＝2cosx(sinx+
cosx)

(1)求f(x)的值域和最小正周期；

(2)若对任意x∈，使得m[f(x)＋]＋2＝0恒成立，求实数m的取值范围.

18．（12分）如图，过点
的两直线与抛物线
相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线
，垂足分别为D、C．

（1）若
，求矩形ABCD面积；

（2）若
，求矩形ABCD面积的最大值．

19．（13分）已知函数f (x)满足f (logax)＝
，其中a＞0且a≠1．(1)对于函数f (x)，当x∈(－1, 1)时，f (1－m)＋f (1－m2)＜0，求实数m值的集合；(2)当x∈(－∞, 2)时，f (x)－4值恒为负数，求a的范围．

20、（13分）已知矩形纸片ABCD中，AB=6
，AD=12
，将矩形纸片的右下

角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，

M、N分别位于边AB、BC上，设
。

（ⅰ）试将
表示成
的函数；

（ⅱ）求
的最小值。

21．（13分）已知函数
(为实常数) ．

（1）当
时，求函数
在
上的最大值及相应的值；

（2）当
时，讨论方程
根的个数．

（3）若
，且对任意的
，都有
，

求实数a的取值范围．

湘中名校2015届高三第一次联考

理科数学参考答案

17.[解答] (1)f(x)＝2cosx(sinx+
cosx)＝2sin+.

∵－1≤sin≤1.

∴f(x)的值域为[－2+，2+]，最小正周期为π.

(2)当x∈时，2x＋∈，

故sin∈，

此时f(x)-＝2sin∈[，2].

由m[f(x)-]＋2＝0知，m≠0，∴f(x)-＝－，即≤－≤2，

即解得－≤m≤－1.即实数m的取值范围是.

19.解：令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∵f(t)＝(at－a－t)

∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)，易证得f(x)在R上是递增的奇函数．

(1)由f(1－m)＋f(1－m2)＜0，及f(x)为奇函数，得f(1－m)＜f(m2－1)

再由f(x)的单调性及定义域，得－1＜1－m＜m2－1＜1，解得1＜m＜．

(2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4在R上也是增函数，

　由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，

只需f(2)－4≤0，而(a2－a－2)≤0

解得：2－≤a≤2＋且
．

20.解：如图所示，
，则MB=
，

由题设得：
+
=6从而得

即
，

设：
则
，即
，
，
令
，得
,当
时，
，当
时，
，所以当
时，取到最大值：
,
的最小值为