长郡中学2015届高三月考试卷(一)

数 学(理科)

总分:150分 时量:120分钟

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.

1.如果复数
(其中
为虚数单位,
为实数)的实部和虚部互为相反数,那么
= ( )

A.
B.
C.
D. 2

【解】选C.直接法 由
,依题有
,即
.

2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体

被抽到的概率为( )

A.
B.
C.
D.

【解】选B.直接法 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为
.

3.设偶函数满足
,则
( )

A.
B.

C.
D.

【解】选C.直接法 当
时,由
,得
,由图象对称性可知选C.

4.若
展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )

A.
B. 84 C.
D. 36

【解】选B.直接法 由二项式系数之和为
,即
,又

令
,则
故常数项为
.

5.设条件
,条件
,其中
为正常数.若
是
的必要不充分条件,则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

【解】选A.直接法 由条件
对应的集合为
,

条件
对应
.且依题意
,

可知
,又
,故
.

6.按照如图所示的程序运行,已知输入的
的值为
,

则输出
的值为( )

A.
B.

C.
D.

【解】选A.直接法 由于输入的初始值为
,故

,即
.故选A.

7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,

则该几何体的体积为( )

A.
B.

C.
D.

【解】选B.逆推法 由该几何体的

三视图可以借用长方体将其还原

为直观图如右所示,(由简到繁)

由俯视图?侧视图?正视图?直观图,

其为四棱锥
,

所以
,选B.

8.设
,若
是
的最小值,则
的取值范围为( )

A. [-1,2] B. [-1,0] C. [1,2] D. [0,2]

【解】选D.直接法 当
时,显然
不是
的最小值,当
时,可知
时,

,而当
时,
,依题意
,得
,

所以
即求.

9.已知锐角
是
的一个内角,
是三角形中各角的对应边,若
,则下列各式正确的是( )

A.
B.
C.
D.

【解】选C.直接法 由
得,
,又
为锐角,故
,

于是
,即
.于是由余弦定理有
,

即
,解得
,选C.

【一点开心】事实上在
中,如果三边
成等差或等比数列,即
,

那么我们都可以结合重要不等式知识得到
.本题考查的是其逆向问题.

10.如图,圆
的半径为1,
是圆上的定点,
是圆上的动点,

角
的始边为射线
,终边为射线
,过点
作直线

的垂线,垂足为
,将点
到直线
的距离表示

为
的函数
,则
在
上的图象大致为( )

【解】选C.等面积法 由
,于是
,由三角函数线有,

,于是
的最大值为
,故选C.

二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.已知直线的极坐标方程为
,则极点到直线的距离为 .

【解】填
.直接法 由
化为直角坐标方程为
,于是极点

到该直线的距离为
,即求.

12.设
均为正数,满足
,则
的最小值是 .

【解】填 3 .综合法 由
可化为
,得
,

其中运用了重要不等式的变形式
,故
(当
时取等号).

13.数列
的前
项和为
,若
,则
.

【解】填
.注意:若填为
形式则视为错误,得分为0.

直接法 由
……①,可推出,
……②

①-②式得,
,于是
,
,故
.

【反思总结】你这次做到(到位)注意定义域了吗?

14.若
满足约束条件
,且
取得最小值的点有无数个,则
.

【解】填 1或-2 .综合-分析法 首先作出可行域如右图:

又目标函数
,依题意
,所以

①当
,即
时,依题意有目标直线
时,当其运动

至与
重合时,最优解有无数个,符合题意,即
,即
;

②同理当
,即
时,必有
,即
,即
,

综上①②可知,
或
为所求.

15.已知椭圆
的离心率为
,过椭圆上一点
作直线
分别交椭圆于
两点,且斜率为
,若点
关于原点对称,则
的值为 .

【解】填
.综合法 由
,得
,如右图所示,

取
中点
,连结
,则由代点求差公式几何意义知,

,又
,故
,即

【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆
的中心的任一条直线

交椭圆
于
两点,
是椭圆
上异于
的任意一点,且当
都存在时,则有
.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为
,恰是通晓俄语的人的概率为
,且通晓法语的人数不超过3人.

(Ⅰ)求这组志愿者的人数;

(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;

(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数
的分布列.

【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有
人,且
;

则依题意有
,即
…………………………………………2分

消去
得,
,当且仅当
时,
符合正整数条件,

所以
,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分

(Ⅱ)记事件
为“甲、乙不全被选中”,则
的对立事件
表示“甲、乙全被选中”,

于是
;…………………………………………………7分

(Ⅲ)随机变量
的可能取值为1,2,3,且由古典概型知

.………………………………………………………………11分

所以随机变量
的分布列如下:

1

2

3













.

……………………………………………………………12分

17.(本小题满分12分)

如图,点
是单位圆与
轴的正半轴的交点,点
.

(Ⅰ)若
,求
;

(Ⅱ)设点
为单位圆上的动点,点
满足

,求
的取值范围.

【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知
,

所以
,即求…………………………………5分

(Ⅱ)由三角函数定义知
,所以

所以
,

又因
,故
,即
,

于是
,所以
的取值范围是
.……………………………………12分

18.(本小题满分12分)

直三棱柱
中,

,点
在
上.

(Ⅰ)若
是
中点,求证:
平面
;

(Ⅱ)当
时,求二面角
的余弦值.

【解】(Ⅰ)连接
交
于点
,连接
,

因为直三棱柱中侧面
为矩形,所以

为
的中点,又
是
中点,

于是
,且
面
,
面
,

所以
平面
;…………………………6分

(Ⅱ)由
知
,即
,

又直三棱柱中
面
,于是以
为原点建立空间

直角坐标系
如右图所示,于是
,

又
,由平面几何易知
,

显然平面
的一个法向量为
,

又设平面
的一个法向量为
,则由

,得
,

解得
,取
,则
,设二面角
的平面角为
,

则
,又由图知
为锐角,

所以其余弦值为
.…………………………………………………………………12分

19.(本小题满分13分)

在数列
中,已知
.

(Ⅰ)求证:
是等比数列;

(Ⅱ)令
为数列
的前
项和,求
的表达式.

【解】(Ⅰ)证明:由

可得

所以数列
以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:
,所以
,

所以

令
,则
,

两式相减得
,

所以
,即
…………………………………………………13分

20.(本小题满分13分)

已知椭圆的一个顶点为
,焦点在
轴上.若右焦点到直线
的距离为3.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设椭圆与直线
相交于不同的两点
.当
时,求
的取值范围.

【解】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为
,右焦点
,

由题设
,得
,故
;故椭圆的方程为
………5分

(Ⅱ)如右图所示,设
,
的中点为
,

则由
可知
,

即
,

可化为
,且
……① …………………………8分

又由
得

则
得
……②

且
,得
……③………………………………………………10分

③式代入①式得,
,

化简得

,得
,又代入②式得,
,解得
,

综上可得
,即为所求...…………………………………………………………13分

21.(本小题满分13分)

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间;

(Ⅱ)若函数
的图象在点
处的切线的倾斜角为
,对于任意的
,函数
在区间
上总不是单调函数,求
的取值范围;

(Ⅲ)求证:
.

【解】(Ⅰ)由
,.………………………………………………………1分

①当
时,显然
时,
,当
时,
,

所以此时
的单调递增区间为
,递减区间为
,

②同理当
时,
的单调递增区间为
,递减区间为
,

③当
时,
不是单调函数;.……………………………………………………4分

(Ⅱ)由题知,
,得
,所以
.

所以
,且
,……………6分

令
时,可知
恒成立,即
一定有两个不等实根
,

且注意到
,所以不妨设
,又
,于是可知

时,
,又
时,

即
在
上递减,在
上递增,依题意可知
,

于是只须
,…………………………………………7分

又以上事实对
恒成立.故
,得
;……………9分

(Ⅲ)分析:要证
成立,

即证
,

也即证,
成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明.

证明过程: 由(Ⅰ)知当
时,
在
上递增,

所以
………………………………11分

也所以在上式中分别令
得,

,

以上同向正数不等式相乘得

两边同除以
得,
,即证.…………………13分