浙江建人高复2014学年第一学期第一次月考试卷理科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设
，
则下列结论正确的是 （ ）

A．
B.

C．
D．

2.已知
，则 ( )

A.1＜n＜m B.1＜m＜n C.m＜n＜1 D.n＜m＜1

3.下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

4.下列命题错误的是 ( ) A．命题“
”的逆否命题为“
”

B．命题“
”的否定是“
”

C．“
”是“
或
”的必要不充分条件

D．“若
”的逆命题为真

5.已知函数
的最小值是 （ ）

A.
B.2 C.
D.

6.
是定义在R上的以3为周期的偶函数，且
，则方程
=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2

7.设
，函数
，则使
的的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

8.如果函数
在区间
上是增函数，那么实数的取值范围是（　 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

9..若使得方程
有实数解，则实数m的取值范围为 （ ）

10.已知函数
是定义在R上的单调函数，对
，
恒成立，

则
（ ）

A．1 B．3 C．8 D．9

二、填空题：本大题共7小题，共28分。

11.已知
，且
，则实数的值为 .

12.已知命题p：不等式
的解集为R，命题q：
是减函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数的取值范围是 .

13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线
对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= ____________.

14.函数
对于任意实数满足条件
，若
则

_______________.

15. 若 n-m表示
的区间长度，函数
的值域的区间长度为
，则实数的值为_______.

17．若正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18. （本小题满分14分）已知集合
，集合
，

集合
.命题
，命题

(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；

(2)若命题
为真命题，求实数的取值范围.

19．（本小题满分14分）设
的定义域是R,且
对任意实数x都满足
=
.已知当x>0时

(1)求
的解析式;(2)解不等式
.

20. （本小题满分14分）已知函数
的定义域是
，当
时，
，且

求
；

证明
在定义域上是增函数；

如果
，求满足不等式
的的取值范围.

21.（本小题满分15分）设a为实数，设函数
的最大值为g(a)。

　　　（Ⅰ）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足
的所有实数a

22．（本小题满分15分）已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．

（1）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；

（2）当a＞0时，若对于任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．

理科数学答案

一、选择题：

DADDC BBBBD

二、填空题：本大题共7小题，共28分。

11.
; 12.
; 13. 0 ; 14.
; 15. 4_ ; 16.
;

17.

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18.(1)a＞3 (2)0≤a≤3

(x＞0)

19. (1)f(x)= 0 (x=0)

(x＜0)

(2)分类讨论： （-∞，-2）∪（0，2）

20．（1）
（2）定义证明（略） （3）

21.设a为实数，设函数
的最大值为g(a)。

　　　（Ⅰ）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）试求满足
的所有实数a

（Ⅰ）令

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,

∴
t≥0 ①

t的取值范围是
由①得

∴m(t)=a(
)+t=

（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数
的最大值。

注意到直线
是抛物线
的对称轴，分以下几种情况讨论。

（1）当a>0时，函数y=m(t),
的图象是开口向上的抛物线的一段，

由
<0知m(t)在
上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2

(2)当a=0时，m(t)=t,
,∴g(a)=2.

(3)当a<0时,函数y=m(t),
的图象是开口向下的抛物线的一段，

若
，即
则

若
，即
则

若
，即
则

综上有

(III)解法一：

情形1：当
时
，此时
，

由
，与a<-2矛盾。

情形2：当

时，此时
，

解得，
与
矛盾。

情形3：当

时，此时

所以

情形4：当
时，
，此时
，

矛盾。

情形5：当
时，
，此时g(a)=a+2,

由
解得
矛盾。

情形6：当a>0时，
，此时g(a)=a+2,

由
，由a>0得a=1.

综上知，满足
的所有实数a为
或a=1

22．（本小题满分15分）

解：

（1）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．

所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．

此方程等价于x＝a或或 ………………………………………… 6分

所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；

当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；

当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．…………………………… 9分

（2）当a＞0，x(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，

所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．

所以当x[a，a＋2]时，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，[，]，

当x[a＋2，＋∞)时，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)。…………………………………… 11分

因为对任意的x1[a，a＋2]，都存在x2[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，

所以[，][ f(a＋2)，＋∞)．………………………………………… 13分

从而≥f(a＋2)．

所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．

因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．

所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．…………………………………… 15分