湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题

总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

1．已知全集
集合
集合
，则集合
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知点
，
则与
同方向的单位向量是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．命题“对任意
都有
”的否定是（ ）

A．对任意
，都有
B．不存在
，使得

C．存在
，使得
D．存在
，使得

4．已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知角的终边上一点坐标为
，则角的最小正值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知函数
的导函数为
，且满足关系式
，则
的值等于（ ）

A．2 B．
C．
D．

7．已知向量
，
，则
与
夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知点
在圆
上，则函数
的最小正周期和最小值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．函数
有零点，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设分程
和方程
的根分别为和，函数
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．请把答案填在答题卡上．

11．已知
，则
的值为

13．
中，
，
，三角形
面积
，

14．已知函数
在
处取得极值10，则
取值的集合为

15．若关于的方程
有实根，则实数的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

17．（本小题满分12分）

已知函数
，其中为使
能在
时取得最大值的最小正整数．

（1）求的值；

（2）设
的三边长、
、满足
，且边
所对的角
的取值集合为，当
时，求
的值域．

18．（本小题满分12分）

中，设、
、分别为角、、
的对边，角的平分线
交
边于，
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求其三边、
、的值．

19．（本小题满分12分）

工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系

（为常数，且
），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元

（1）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；

（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：
）

20．（本小题满分13分）

已知
，当
时，
．

（1）证明
；

（2）若
成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数
的表达式．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（为常数，为自然对数的底）

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）若函数
在
上无零点，求的最小值；

（3）若对任意的
，在
上存在两个不同的
使得
成立，求的取值范围．

数学（理）参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

D

C

B

D

B

B

C

A





11．
12．
13．
14．
15．

16．若命题为真
显然

或

故有
或

………………………5分

若命题为真，就有

或

命题“或”为假命题时，
………………………12分

17．（1）
，依题意有

即
的最小正整数值为2

………………………5分

（2）
又

即

即
……………………………………8分

…………………………10分

故函数
的值域是
…………………………12分

18．（1）

即

………………………………5分

（2）


① ……………………7分

又
② …………………………9分

由①②解得
…………………………………………10分

又在
中

……………………………………………………12分

19．（1）当
时，
，
…………2分

当
时，

……………4分

∴日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系式为

……………………………………5分

（2）当
时，日盈利额为0

当
时，

令
得
或
（舍去）

∴当
时，

∴在
上单增

∴最大值
………………………………9分

当
时，在
上单增，在
上单减

∴最大值
……………………………………10分

综上：当
时，日产量为万件日盈利额最大

当
时，日产量为3万件时日盈利额最大

20．（1）
时

……………………………………………………4分

（2）由
得到

……………………………………………………5分

又
时
即

将
代入上式得

又

……………………………………………………8分

又

时

对
均成立

为函数
为对称轴 ………………………………10分

又

………………………………………………12分

………………………………………………13分

21．（1）
时，

由
得

得

故
的减区间为
增区间为
…………………………3分

（2）因为
在
上恒成立不可能

故要使
在
上无零点，只要对任意的
，
恒成立

即
时，
…………………………………5分

令

则

再令

于是在
上
为减函数

故

在
上恒成立

在
上为增函数

在
上恒成立

又

故要使
恒成立，只要

若函数
在
上无零点，的最小值为
………………8分

（3）

当
时，
，
为增函数

当
时，
，
为减函数

函数
在
上的值域为
…………………………………9分

当
时，不合题意

当
时，

故

① ……………………………………………………10分

此时，当变化时，
，
的变化情况如下











—

0

+





↘

最小值

↗




时，
，

任意定的
，在区间
上存在两个不同的

使得
成立，

当且仅当满足下列条件

即
②

即
③ ……………………11分

令

令
得

当
时，
函数
为增函数

当
时，
函数
为减函数

所以在任取
时有

即②式对
恒成立 ……………………………………13分

由③解得
④

由①④ 当
时

对任意
，在
上存在两个不同的
使
成立