湖北省重点中学2015届高三上学期第二次月考数学文试题

说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 已知全集
,集合
, 若
，则等于（ ）

A.
B. C.
或 D.
或

2. 已知是实数，
是纯虚数，则＝( )

A.
B. C.
D.

3．已知数列
的前项和
，则数列
的通项公式为（ ）

A.
B.

C.
D.

4．有关命题的说法中正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

B．命题“若
，则
”的
形式是“若
，则
”；

C．若
为真命题，则、至少有一个为真命题；

D．对于命题
存在
，使得
，则
对任意
，均有
。

5. 如图，一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩

形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为（ ）

6．若对正数，不等式
都成立，则的最小值为（ ）

A. B.
C.
D.

7．已知
的三内角、、
所对边长分别为是、
、，设向量
，
，若
，则角的大小为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知各项均为正数的的等比数列
的前项和为
，若
，
，则
的公比等于（ ）

A．
B．
C.
或
D.

9．定义在R上的偶函数
满足
，且在
上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

10．点是函数
的图象上任意一点，则点到直线
的最小距离是 ．

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知向量
，若
，则
．

12．设数列
是首项为,公比为
的等比数列,则
．

13．一个底面是等腰直角三角形的直棱柱，侧棱长与

底面三角形的腰长相等，其体积为4，它的三视图中

俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的对角线长为 ．

14．在数列
中,
,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
,(
)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 。

15．在平面直角坐标系
上的区域由不等式组
给定，若
为上的动点，点的坐标为
，则
的最大值为 ．

16．“无字证明”(proofs without words)就是

将数学命题用简单、有创意而且易于理解的

几何图形来呈现。请利用图1、图2中大矩

形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验

证的一个三角恒等变换公式： ．

17．已知函数
，给出下列五个说法：

①
；②若
，则
；③
在区间
上单调递增； ④将函数
的图象向右平移
个单位可得到
的图象；⑤
的图象关于点
成中心对称．其中正确说法的序号是 .

三、解答题（本大题包括6个小题，共75分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18．（本小题12分）

已知函数
，
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
，
，求
。

19．（本小题满分12分）

铁矿石和的含铁率为，冶炼每万吨铁矿石
的排放量
及每万吨铁矿石的价格如表：




（万吨）

（万元）





50%

1

300





70%

0.5

600



某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求
的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用是多少？

20．（本小题13分）

如图4，在四棱锥
中，底面
为菱形，其中
，
，
为
的中点．

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ) 若平面
平面
，且
为

的中点，求四棱锥
的体积．

21．（本小题满分14分）

若数列
的前项和为
，对任意正整数都有
，记

（Ⅰ）求
,
的值；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

(Ⅲ)若
求证：对任意
．

22．（本小题满分14分）已知，
是实数，函数
，
，
和
分别是
，
的导函数，若
在区间上恒成立，则称
和
在区间上单调性一致．

（Ⅰ）设
，若函数
和
在区间
上单调性一致，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
且
，若函数
和
在以，
为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值．

参考答案

1．答案：D解析：由题意知
，欲使
，则
或
。

2．答案：B解析：
是纯虚数，所以
。

3．答案：C解析：，当
时，
，当
时，
。

4．答案：D解析：对于A：逆否命题是“若
，则
”，对于B：非形式不是将条件和结论都同时进行否定；对于C：（
）或（
）为真命题，其否定形式“且”为假命题，则、至少有一个为假命题；对于D是正确的。

5．答案：D解析：由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的一个正三棱柱，底面三角形的高为
，底面边长为。

6．答案：D解析：因为
，所以
可以化为
，由基本不等式的性质得：

，即的最小值为
。

7．答案：A解析：因为
，所以
，根据正弦定理，上式可化为
，所以
，所以
.

8．答案：B解析：由题意可知
，即
，消去
的
，解得
或者
，又数列各项均为正数，所以
应舍去。

9．答案：D解析：由题意可知，函数
周期为2，所以函数在
上为减函数，又因为是偶函数，所以在
内为增函数，而
，则
，所以
。

10．答案：B 解析：由几何特征知，点是切点时，距离最小，设
，由
，解得
（
舍去），即切点是
，所以
=
。

11．答案：
解析：
，算得
。

12．答案：15解析：依题意就是求一个公比为2的等比数列的前四项。

13．答案：
解析：设底面的等腰直角三角形的腰长为，则侧棱长也为，则
，解得
，则其侧视图是一个长为
，宽为的矩形，其对角线长为
。

14．答案：18解析：
，（
）,所以只需找
的数值的个数即可，最大为
，最小为
。

15．答案：3 解析：先画出D所表示的区域，见右图
，
，因为
，故只需找出
在
方向上

投影的最大值即可，取与
垂直的直线平移得到当

与
重合时复合题意，所以
。

16．解析：两个图的阴影部分面积相等，左边大矩形面积为：

，减去四个小直角三角形的面积得：
，右边图中阴影部分面积等于：
。

17.答案：①④【解析】
.①正确，
；②错误：由
，知
或
；③错误：令
，得
，由复合函数性质知
在每一个闭区间
上单调递增，但
，故函数
在
上不是单调函数；④正确：将函数
的图象向右平移
个单位可得到
；⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足
，解得
，即对称中心坐标为
，则点
不是其对称中心。

18．解析：(Ⅰ)
；

(Ⅱ)
，且
，所以
，

19．解析：可设需购买矿石万吨，矿石万吨，则根据题意得约束条件：
，目标函数为
，作图可知在点
处目标函数去的最小值，最小值为
万元。

答：购买铁矿石的最少费用是1500万元。

20．解析：解：（Ⅰ）
，
为中点，
…………１分

连
，在
中，
，
，
为等边三角形，

为
的中点，
, 　　　 …………2分

,
平面
,
平面
,

(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3分

平面
. 　　　　　　　　　　　　　 …………4分

（Ⅱ）连接
,作
于
. 　　　　　　　 　…………5分

,
平面
,

平面
平面ABCD
,

平面
平面ABCD，

, …………6分

,

…………7分

. 　　　　　…………8分

, …………9分

又
,
.　 …………10分

在菱形
中，
,

方法一:

, 　…………11分

.　 …………12分

．　 …………13分

方法二:

， 　　　　　　　　　…………11分

, …………12分

…………14分

21．解：（Ⅰ）由
，得
，解得
． …………1分

，得
，解得
． …………3分

（Ⅱ）由
……①，

当
时，有
……②，　　 …………4分

①－②得：
，　　　　　　　　　　　　　　　　…………５分

数列
是首项
，公比
的等比数列　　　　…………６分

，　　　　　　　　　…………７分

．　　　　　　　　…………８分

(Ⅲ)
，

，
　……(1)

， ……(2)

…………，

，

， …………(
)　　　　　…………９分

(1)+(2)+ ……+(
)得
，
……10分

，
，当
时，
也满足上式，

所以
…………11分　

，　　　　　　　　…………12分

，　　　　　　　…………13分

，
对任意
均成立．　…………14分

22．解析：由已知，f '(x)=3x2+a，g'(x)=2x+b，a，b(R；

（Ⅰ）由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)(0在区间[－1,+()上恒成立，即 (3x2+a)(2x+b)(0在区间[－1,+()上恒成立，因为a>0，所以，3x2+a>0，所以，2x+b(0在区间[－1,+()上恒成立，

即，b(－2x在区间[－1,+()上恒成立，而y=－2x在[－1,+()上最大值ymax=－2(－1)=2，

所以，b(2，即b([2,+()；

（Ⅱ）由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)(0在以a，b为端点的开区间上恒成立，即 (3x2+a)(2x+b)(0在以a，b为端点的开区间上恒成立，因a<0，所以，由(3x2+a)(2x+b)=0，得x1=－，x2=，x3=－；

①若b>0，则开区间为(a,b)，取x=0，由f '(0)g'(0)=ab<0知，f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致，不符合题设；

②若b(0，因x2，x3均为非负，故不在以a，b为端点的开区间内；所以，只有x1可能在区间上；

由f '(x)g'(x)(0在以a，b为端点的区间上恒成立，知x1=－要么不小于a，b中的大者，要么不大于a，b中的小者；因为a，b都不大于0，所以，(2x+b)(0，所以，由f '(x)g'(x) (0知(3x2+a)(0，所以－(x(0；

当0>a>b(－时，由f '(x)g'(x)(0在区间(b,a)上恒成立，即(3x2+a)(2x+b)(0在区间(b,a)上恒成立，知|a－b|最大值为|a+|，而由a>－解得a>－；此时，|a+|=|－()2+|，配方后知，取不到最大值；

当0(b>a(－时，显然，此时，当b=0，a=－，即b=0，a=－时，|a－b|取得最大值|0－(－)|=；综上，|a－b|的最大值为。