2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中

数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（　　）

　 A．﹣1，0） B． （0，1） C． （1，2） D． （0，2）

2．已知（1+
）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=

　 A．﹣4 B． 4 C． ﹣7 D． 7

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=18﹣a7，则S12=（　　）

　 A． 18 B． 54 C． 72 D． 108

4．已知双曲线
﹣
=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

5．已知向量
=（2，0），向量
=（2，2），向量
=（
cosα，
sinα），则向量
与向量
的夹角范围为（　　）

　 A． [0，
] B． [
，
] C． [
，
] D． [
，
]

6．执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（　　）

　 A． n≤5 B． n≤6 C． n≤7 D． n≤8

7．已知p：
≤2x≤
，q：﹣
≤x+
≤﹣2，则p是q的（　　）

　 A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件

8．已知x、y都是区间[0，
]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

9．
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　）

　 A．﹣40 B． ﹣20 C． 20 D． 40

10．若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+
）=f（﹣t），且f（
）=﹣1则实数m的值等于（　　）

　 A．±1 B． ﹣3或1 C． ±3 D． ﹣1或3

11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（　　）

　 A．
B．
C．
D． 2

12．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式exf（x）＞ex+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

　 A．（2014，+∞） B． （﹣∞，0）∪（2014，+∞）

C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（0，+∞）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=　_________　．

14．若实数x，y满足
如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=　_________　．

15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为　_________　．

16．函数f（x）=
的最大值与最小值之积等于　_________　．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2
sinAcosA=﹣1．

（Ⅰ）若a=2
，c=2，求△ABC的面积；

（Ⅱ）求
的值．

18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．

（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；

（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．

20．（12分）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

21．（12分）已知函数f（x）=
x2﹣
ex3+ex（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．

（1）求函数y=f（x）的单调区间；

（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．

下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲

22．（10分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=2
，AE=
，求CD．

【选修4—4】坐标系参数方程

23．已知直线l的参数方程为
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；

（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．

【选修4—5】不等式选讲

24．（2014?泉州模拟）设函数f（x）=
+
的最大值为M．

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．



20． 解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为
，∴
，解得c=1．

又
，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．

∴所求椭圆C的方程为：
．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，

△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．

∴
，
．

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
=
．

∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD?kBD=﹣1，∴
，

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴

．

化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，
．

，且满足3+4k2﹣m2＞0．

当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；

当m=﹣
时，l：y=k
，直线过定点
．

综上可知，直线l过定点，定点坐标为
．

21． （1）解：）∵f（x）=
x2﹣
ex3+ex（x﹣1），

∴f′（x）=﹣ex2+x+ex（x﹣1）+ex=x（ex+1﹣ex），

令y=ex+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，

则y≥1．即ex+1﹣ex＞0恒成立，

则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．

故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．

（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，

令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，

h′（x）=
+2ex﹣1﹣exx﹣ex，

当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，

当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，

故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．

故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，

故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．

22．

（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，

∴∠DAE+∠ADE=90°

∵DA平分∠BDC．

∴∠ADE=∠BDA

∵OA=OD

∴∠BDA=∠OAD

∴∠OAD=∠ADE

∴∠DAE+∠OAD=90°

即：AE是⊙O的切线

（2）在△ADE和△BDA中，

∵BD是⊙O的直径

∴∠BAD=90°

由（1）得：∠DAE=∠ABD

又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°

进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略

（2）CD=2

23． 解：（1）直线l的参数方程为
（t为参数），普通方程为y=
x+2﹣2
；

圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；

（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．

圆心到直线的距离为
=1，

∴|PQ|=2
=2
．

24． 解：（Ⅰ）函数f（x）=
+
=
?
+
≤
?
=3，

当且仅当
=
，即 x=4时，取等号，故实数M=3．

（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．

由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∴|x﹣1|+|x+2|=3．

根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，

故不等式的解集为[﹣2，1]．