河南省许昌、平顶山、新乡三市2015届高三10月调考

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U=R，A={x|x≤1}，B={x|x≥2}，则集合?U（A∪B）=（　　）

　 A． {x|1＜x＜2} B． {x|1≤x≤2} C． {x|x≤2} D． {x|x≥1}

2．已知
，其中i为虚数单位，则a+b=（　　）

　 A．﹣1 B． 1 C． 2 D． 3

3．若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（　　）

　 A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件

4．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（　　）

　 A．
B．
C．
D． 1

5．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=
，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（　　）

　 A． c＞b＞a B． b＞c＞a C． a＞b＞c D． b＞a＞c

6．从正六边形六个顶点及其中心这7个点中，任取两个点，则这两个点的距离大于该正六边形边长的概率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

　 A．
B． 10 C． 30 D． 24+2

8．已知双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（　　）

　 A．
B． x2=
y C． x2=8y D． x2=16y

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

　 A． f（x）=2sin（
x+
） B． f（x）=4sin（
x+
）

C． f（x）=2sin（x+
） D． f（x）=4sin（
x+
）

10．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=
（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（　　）

　 A． S6 B． S5 C． S4 D． S3

11．设x、y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则
的最小值为（　　）

　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

12．已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+ex﹣
（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（　　）

　 A．（﹣∞，
） B． （﹣∞，
） C． （﹣
，
） D． （﹣
，
）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．

dx=　_________　．

14．（x﹣
）6展开式的常数项为　_________　．

15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量
在向量
方向上的投影是　_________　．

16．设函数f（x）=1+sin2x，g（x）=2cos2x+m，若存在x0∈[0，
]，f（x0）≥g（x0），则实数m的取值范围是　_________　．

三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且
=﹣
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若

，求角C的取值范围．

18．（12分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．

（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；

（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19．（12分）四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2
，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．

（1）求证：SD∥平面CFA；

（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．

20．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．

21．（12分）设函数f（x）=lnx+
x2﹣（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．

（Ⅰ）求实数m的取值范围；

（Ⅱ）若
≥e（e为自然对数的底数），求f（b）﹣f（a）的最大值．

四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）求证：AM?MB=DF?DA．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

已知：直线l的参数方程为
（t为参数），曲线C的参数方程为
（θ为参数）．

（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
），判断点P与直线l的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=|x﹣a|．

（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

数学理答案

一．1-5．ABACB 6-10CBCBD 11-12CA

二．填空题 13、
14、15 15、－ 16、

三．17.解:(I)由已知得2cosB＝
，…………………….2分

而△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A＝1. ……………….4分

∵A∈(0，π)，∴2A＝，A＝.………………….6分

(II)∵∵B＋C＝，∴＝＝…………8分

＝＋tanC>，即tanC>1, …………….10分

∵0

∴

18.解：（Ⅰ）记“
条鱼中任选
条恰好有
条鱼汞含量超标”为事件
，则

，

条鱼中任选
条恰好有
条鱼汞含量超标的概率为
.　 　………4分

（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率
，……5分

可能取
，
，
，
.　　　　　　　　　　　　 　　　　　……6分

则
，
，

，
．…10分

其分布列如下：

0

1

2

3















所以
. …12分

19. 解：(Ⅰ)连接BD，交AC于E，连接EF.

，………………………………………3分

又
平面
，SD
平面CFA，
SD
平面CFA…………6分

(Ⅱ)取BC的中点O，连接SO.

因为侧面
底面
，
，

平面

又
，故建立如图所示的坐标系，

则
，
，
，
，

，，
，
.………………………………8分

设平面
的法向量
，

则
，令
，得
…………10分

设平面
的法向量
，则

，得
.………11分

设平面
与平面SAB所成的锐二面角为
，则
，

故所成锐二面角的余弦值为
.……………………12分

20. 解：(Ⅰ)依题意，设椭圆
的方程为
．

∵
构成等差数列，∴
，
．

又
，
．椭圆
的方程为
．…………………………4分

(Ⅱ)将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，

得
． ……………………5分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
． ……………………6分

设
，
， …………………………7分

当
时，设直线
的倾斜角为
，则
，
，

，……9分

，

当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
． ……………………11分

所以四边形
面积
的最大值为
． ……………………………12分

21.解:(Ⅰ)
，……………………1分

则由题意则方程
有两个正根，

故
，……………………3分

解得
.故实数
的取值范围是
.………………4分

(Ⅱ)
，………………6分

又
，



=
，………………8分

设
，故，构造函数
………10分

，所以
在
上是减函数，

，
的最大值为
………………12分

22．证明:(Ⅰ) 连接OC，则有∠OAC＝∠OCA，

又AC是∠BAF的角平分线，∴∠OAC＝∠FAC，∴∠FAC＝∠ACO，∴OC∥AD.

又CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…………… 5分

(Ⅱ) 连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM·MB.

又∵DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF·DA.

易知△AMC≌△ADC，∴DC＝CM，∴AM·MB＝DF·DA. ………… 10分

23．解:(Ⅰ) 把点P的极坐标化为直角坐标为(2，2)，

把直线l的参数方程(t为参数)，化为直角坐标方程为y＝x＋1，

由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．……………5分

(Ⅱ) ∵曲线C的参数方程为(θ为参数)，

曲线C的极坐标系方程化为直角坐标系方程为：(x－2)2＋y2＝1，

表示以(2，0)为圆心、半径等于1的圆．

∴圆心到直线l的距离d＝＝＋＞1，∴l与圆相离，

故点Q到直线l的距离的最小值为d－r＝－，最大值为d＋r＝＋，

∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2. ………… 10分

24．解:(Ⅰ) 由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5