河南省许昌、平顶山、新乡三市2015届高三（上）10月调考

数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B等于（　　）

　 A． {x|﹣1＜x＜2} B． {x|x≤﹣1或1≤x＜2} C． {x|1＜x＜2} D． {x|1≤x＜2}

2．已知
，其中i为虚数单位，则a+b=（　　）

　 A．﹣1 B． 1 C． 2 D． 3

3． f（x）=
，则f（f（﹣1））等于（　　）

　 A．﹣2 B． 2 C． ﹣4 D． 4

4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

　 A． 4
B． 8
C． 12
D． 24

5．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（　　）

　 A．
B．
C．
D． 1

6．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=
，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（　　）

　 A． c＞b＞a B． b＞c＞a C． a＞b＞c D． b＞a＞c

7．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（　　）

　 A． 11 B． 10 C． 9 D． 8.5

8．已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=
（n∈N*），bn=log2an，则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是（　　）

　 A． S6 B． S5 C． S4 D． S3

9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中
）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（　　）

　 A．向右平移
个长度单位 B． 向右平移
个长度单位

　 C．向左平移
个长度单位 D． 向左平移
个长度单位

10．已知P是双曲线
上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是
的面积为9，则a+b的值为（　　）

　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣2）=0，当x＞0时，有
＞0恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（　　）

　 A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B． （﹣2，0）∪（0，2）

C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

12．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀

非优秀

总计



甲班

10

b





乙班

c

30





总计





105



已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为
，则下列说法正确的是（　　）

A．

列联表中c的值为30，b的值为35



　

B．

列联表中c的值为15，b的值为50



　

C．

根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”



　

D．

根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”



　

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．若在区间[﹣5，5]内任取一个实数a，则使直线x+y+a=0与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2有公共点的概率为　_________　．

14．已知命题p：?x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：?x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为 _________　．

15．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量
在向量
方向上的投影是　_________　．

16．若函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x﹣m在[0，
]上有零点，则实数m的取值范围是　_________　．

三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b，c，且
=﹣
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若

，求角C的取值范围．

18．（12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

19．（12分）如图（1），在边长为2的等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图（2）所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=
．

（Ⅰ）证明：CF⊥平面ABF；

（Ⅱ）当AD=
时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．

20．（12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．

21．（12分）设函数f（x）=alnx﹣bx2（x＞0）．

（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣
相切，求实数a、b的值；

（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，
]，x∈（1，e2]都成立（e为自然对数的底数），求实数m的取值范围．

四、选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）求证：AM?MB=DF?DA．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

已知：直线l的参数方程为
（t为参数），曲线C的参数方程为
（θ为参数）．

（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
），判断点P与直线l的位置关系；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=|x﹣a|．

（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

2015年许新平高三一模文科数学参考答案

一．选择题

DBDAC BBDAC DC

二．填空题

13． 14．a≤－2或a＝1 15．－ 16．[－1，]

三．解答题

17．解:(Ⅰ)由已知得2cosB＝－， …………………….2分

由于△ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A＝1. ……………….4分

∵A∈(0，π)，∴2A＝，∴A＝. …………………6分

(Ⅱ)∵
，由(1)知
，

即
…………….9分

∴tanC>1，∵0

18．解:(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.06×5＝0.3，人数为0.3×100＝30人；

第4组的频率为0.04×5＝0.2，人数为0.2×100＝20人；

第5组的频率为0.02×5＝0.1，人数为0.1×100＝10人．…………………….3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者，若利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第3组为×6＝3；第4组为×6＝2；第5组为×6＝1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者．…………………….6分

(Ⅱ)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的一名志愿者为C.

则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15种．……………9分

其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共9种．……11分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为＝.…………….12分

19．(Ⅰ)证明:如图(1)，在等边三角形ABC中，F是BC的中点，

∴AF⊥FC，∴BF＝FC＝BC＝1.

在图(2)中，∵BC＝
，∴BC2＝BF2＋FC2，∴∠BFC＝90°，∴FC⊥BF.

又BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF. …………….6分

(Ⅱ) ∵AD＝
，∴BD＝，AD∶DB＝2∶1，

在图(2)中，AF⊥GE，AF⊥DG，又DG∩GE＝G，∴ AF⊥平面GDE.

在等边三角形ABC中，AF＝AB＝
，

∴FG＝AF＝
，DG＝BF＝×1＝＝GE，

∴S△DGE＝DG·EG＝
，∴VF -DEG＝S△DGE·FG＝
.…………….12分

20．解:(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c，0)．

因△AB1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，从而|OA|＝|OB2|，即b＝.又c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2.

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2，

由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.

故所求椭圆标准方程为＋＝1. …………….5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1(－2，0)、B2(2，0)．由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：x＝my－2.

代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.　　　　(*)

设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则y1，y2是方程(*)的两根，则y1＋y2＝，y1·y2＝.

…………….7分

又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，

所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2

＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－＋16＝－，

由PB2⊥QB2，知·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2. …………….9分

当m＝2时，方程(*)化为：9y2－8y－16＝0，

故y1＝，y2＝，|y1－y2|＝，

△PB2Q的面积S＝|B1B2|·|y1－y2|＝.[来

当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S＝，

综上，△PB2Q的面积为.…………….12分

21．解：（Ⅰ）∵
，又函数
在
处与直线
相切，

，解得
． ………………… 5分

（Ⅱ）当b=0时，
，若不等式
对所有的
都成立，即
对所有的
都成立，

令
，则
为一次函数，∴
．………………… 8分

上单调递增，
，

对所有的
都成立．

．………………… 12分

（注：也可令
所有的
都成立，分类讨论得
对所有的
都成立，
，请根据过程酌情给分）

选考题：

22．证明:(Ⅰ)连接OC，则有∠OAC＝∠OCA，

又AC是∠BAF的角平分线，∴∠OAC＝∠FAC，∴∠FAC＝∠ACO，∴OC∥AD.

又CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．……………5分

(Ⅱ)连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM·MB.

又∵DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF·DA.

易知△AMC≌△ADC，∴DC＝CM，∴AM·MB＝DF·DA. ……………10分

23．解:(Ⅰ)把点P的极坐标化为直角坐标为(2，2)，

把直线l的参数方程(t为参数)，化为直角坐标方程为y＝x＋1，

由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上．……………5分

(Ⅱ)∵曲线C的参数方程为(θ为参数)，

曲线C的极坐标系方程化为直角坐标系方程为：(x－2)2＋y2＝1，

表示以(2，0)为圆心、半径等于1的圆．

∴圆心到直线l的距离d＝＝＋＞1，∴l与圆相离，

故点Q到直线l的距离的最小值为d－r＝－，最大值为d＋r＝＋，

∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2. ……………10分

24．解:(Ⅰ)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，∴解得a＝2. ……………4分

(Ⅱ)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，

于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝

∴当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.

综上，g(x)的最小值为5.

从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，

则m的取值范围为(－∞，5]. ……………10分