河南八校2014—2015学年上期第一次联考

高三数学（文）试题参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

A

B

B

C

A

C

A

D

C

C



一选择题：

二填空题： 13.
14.
15.
16. ②⑤

三解答题：

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设
和
得，
，∴
…………………………4分

∴
或
………………….………………6分

（Ⅱ）由已知
…………………………………………7分

由余弦定理得，
，∴
………10分

设
边上的高为
，由三角形面积相等得，

………………………………………12分

18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
是
的
倍及概率的性质，有
，解
，

故
． …………………………4分（Ⅱ）不公平，甲获胜的概率
，乙获胜的概
，

二者概率不同，所以不公平．……………8分

（Ⅲ）（共6种可能，答出任意2种即可）

?

甲获胜对应点数

乙获胜对应点数

丙获胜对应点数



?①

1，6

2，5

3，4



?②

1，6

3，4

2，5



?③

2，5

3，4

1，6



?④

2，5

1，6

3，4



?⑤

3，4

1，6

2，5



?⑥

3，4

2，5

1，6



……………………12分

19. （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，取BC的中点G，连接FG，OG

由O为BD中点知，OG∥DC，OG=
DC，又EF∥DC，EF=
AB=
DC

∴OG∥EF且OG=EF，∴OGFE是平行四边形，……………4分

∴EO∥FG，又FG平面BCF，∴EO∥平面BCF……………………6分

解：（Ⅱ）连接AC，AF，则几何体ABCDEF的

体积为
………………………7分

由ED⊥平面ABCD，ABCD为矩形得，AD⊥平面EDCF，

∴AD是四棱锥
的高，

又EF∥DC，∴EDCF是直角梯形，又EF=DE=AD=
AB=2，

∴
………………………9分

在三棱锥
中，高ED=2，

∴
…………………………11分

∴几何体ABCDEF的体积为
…………………………12分

20. （本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）设过点
的直线
：
，

由
得，

令
，∴
………………4分

∴

为定值……6分

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原点到直线
的距离
……………10分

∴

当
时，三角形
面的最小，最小值是
………………12分

21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数
的定义域为
且
，

………………2分

．令
，得
．当变化时，
和
的变化情况如下：













－

－



＋





↘

↘

极小

↗



所以
的单调减区间为
，
；单调增区间
．

故当
时，函数
有极小值
. ……………… 5分

（Ⅱ）结论：函数
存在两个零点．证明过程如下：由题意，函数
．

因为
．所以函数
的定义域为．求导，得

，…………………… 7分

令
，得
，
，当变化时，
和
的变化情况如下：



















—










↗

极大

↘

极小

↗



故函数
的单调减区间为
；单调增区间为
，
．

当
时，函数
有极大值
；

当
时，函数
有极小值
. ………………………… 10分

因为函数
在
单调递增，且
，所以对于任意
，
.

因为函数
在
单调递减，且
，所以对于任意
，
.

因为函数
在
单调递增，且
，
，

所以函数
在
上存在唯一
，使得
，

故函数
存在两个零点（即
和
）． ……………… 12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）连结
，根据题意在△
和△
中，
，即
．

又
，从而△
∽△
．因此
．所以
四点共圆．……………5分

（Ⅱ）
时，方程
的两根为
．故
，
．取
的中点
，
的中点，分别过
作
的垂线，两垂线相交于
点，连结
．因为
四点共圆，所以
四点所在圆的圆心为
，半径为
，由于
，故
∥
，
∥
．从而
，
．故
四点所在圆的半径为
．…………………10分

23 .（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由
为参数
消去参数得，

直线
的普通方程为
…………3分

把
代入
中得，

圆C的直角坐标方程为
…………………5分

（Ⅱ）圆心
到直线
的距离
……………8分

由弦长公式得，弦长为
……………………………10分

24. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意得
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
时，
取得最小值，此时
． ……………………5分

（注：画出函数
的图像，得到
的最小值也可以．）

（Ⅱ）由
的图像恒过点
及函数
的图像可知
． …………………10分