河南八校2014-2015学年上学期第二次联考

高三数学（理）试题

参 考 答 案

一、选择题 DCDCD DCCBB CA

二、填空题

13、 14、10 15、
16、①④

17.解：（Ⅰ）由
得：

，

，又

……………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，

又
，

，

…………12分

18.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
(i＝0,1,2,3,4)，则

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
3分

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则
，

由于
与
互斥，故

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为……… 7分

（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于
与
互斥，
与
互斥，故

，

。

所以ξ的分布列是

ξ

0

2

4



P









随机变量ξ的数学期望
12分

19.解（1）证明：如图，取
的中点，连接
，因
，则

由平面
侧面
，且平面

侧面

，

得
，又
平面
， 所以
.

因为三棱柱
是直三棱柱，则
，所以
.

又
，从而
侧面
，又
侧面
，故
. -------6分

解法一：连接
，由（1）可知
，则
是
在
内的射影

∴
即为直线
与
所成的角，则
在等腰直角
中，
，且点是
中点，∴
，且
，

∴
过点A作
于点，连
，由（1）知
，则
，且
∴
即为二面角
的一个平面角 且直角
中：
，又
，
∴
，

且二面角
为锐二面角 ∴
，即二面角
的大小为
----12分

解法二（向量法）：由（1）知
且
，所以以点为原点，以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
，如图所示，且设
，则
，
，
，
，
，
，
，

设平面
的一个法向量
，由
，
得：

令
，得
，则
设直线
与
所成的角为
，则
得
，解得
，即

又设平面
的一个法向量为
，同理可得
，设锐二面角
的大小为，则

，且
，得

∴ 锐二面角
的大小为
. ------------12分

20.解：(1）设椭圆
的方程为
，则
.由
，得

∴椭圆C的方程为
. ……2分

(2)（i）解：设
，直线
的方程为
， 代入
，

得
由
，解得

由韦达定理得
. 四边形
的面积

∴当
，
. …… 4分

（ii）解：当
，则
、
的斜率之和为0，设直线
的斜率为

则
的斜率为
，
的直线方程为
由
…………6分

（1）代入（2）整理得

同理
的直线方程为
，可得

∴

所以
的斜率为定值
. …………12分

21、解：（1）
的定义域为
.

当
时，
，故
在
单调递增；

当
时，
，故
在
单调递减；

当
时，令
，解得

即
时，
；
时，
；

故
在
单调递增，在
单调递减；…………（6分）

（2）不妨设
，而
，由（1）知
在
单调递减，从而对任意
，恒有




…..（8分）

令
，则
等价于
在
单调递减，

即
，从而
，

故的取值范围为
…………….(12分)

另解：
设
，

则

当
，
。

∴
∴

22、（1）连接
，因为
，所以
．

为半圆的切线，∴
． ∵
，
．

．
平分
． 5分

（2）连接
，由（1）得
，∴
．

∵
四点共圆．∴
．∵AB是圆O的直径，∴
是直角．∴
∽
，

．∴

． 10分

23.（I）直线
的普通方程为：
；曲线的直角坐标方程为
---4分

（II）设点

，则

所以
的取值范围是
.---------10分

24．解：解：（Ⅰ）当
时，原不等式可变为
，可得其解集为

（Ⅱ）设
，则由对数定义及绝对值的几何意义知
，

因
在
上为增函数， 则
，当
时，
，

故只需
即可，即
时，
恒成立．