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宁都中学2015届高三年级10月月考 数 学（理） 试 题 2014.10 （考试时间：120分钟，试卷满分150分） 命题人：曾焰生 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.复数 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．对于函数，下列命题中正确的是 （ ） A． B． C． D． 3. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是( ) A. B. C. D. 4．函数的零点个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 5．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达C1点，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是 ( ) A．－ B．－ C. D. 6．使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是 （ ） A． B． C． D． 7．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003＋a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( ) A．4007 B．4006 C．2004 D．2003 8．△ABC的外接圆的圆心为，半径为1，且，则向量 在方向上的投影为 （ ） A． B． C． D． 9．由等式, 定义映射 ( ) A.（1，2，3，4） B.（0，3，4，0） C.(-1，0，2，-2） D.（0，-3，4，-1） 10．过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点 ( ) A．共圆 B．共线 C．在另一抛物线上 D．在一双曲线上 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题后的横线上．） 11．在右边程序框图中，如果输出的结果，那么输 入的正整数N应为______________________. 12.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点， 点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为__________. 13．当实数满足时，变量的取值范围是_____. 14．设直线与抛物线交于不同两点A、B，F为 抛物线的焦点,则的重心G的轨迹的普通方程为_______________. 15.（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（极坐标系选做题).在极坐标系（，θ）（0?≤θ< 2π）中， 曲线=?与cos=-1?的交点的极坐标为______． B.（不等式选做题)若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1| 则a的取值范围是______． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分） 袋中有大小相同的4个红球与2个白球。 （1）若从袋中不放回的依次取出一个球，求第三次取出白球的概率； （2）若从中有放回的依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为， 求与 17．（本小题满分12分） 已知向量，，函数 （1）若，求的值； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围． 18．（本小题满分12分） 数列的前n项和记为， （1）求的通项公式; （2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为，且，又成等比数列，求． 19．（本小题满分12分） 已知矩形ABCD所在平面，PA=AD=，E为线段PD上一点。 （1）当E为PD的中点时，求证： （2）是否存在E使二面角E—AC—D为30°？若存在，求，若不存在，说明理由。 20．（本小题满分13分） 已知圆C:(x-4)2+(y-m)2=16 (m∈N),直线4x-3y-16=0过椭圆E: =1(a>b>0)的右焦点,且交圆C所得的弦长为,点A(3,1)在椭圆E上. (1)求m的值及椭圆E的方程; (2)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围. 21．（本小题满分14分） 已知函数． （1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，若，，，求的极小值； （3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由． 宁都中学2015届高三年级10月月考 数 学（理）答案 命题人：曾焰生 2014.10 一、选择题：1-5 ABACD 6-10 BBCDB 二、填空题 11.6 12. 13. 14. 15. A B. a≤3 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、解：①②记取一次球取出红球为事件A，则， 分析知ξ服从二项分布，即ξ～B（6，） ∴ ……………（9分） ……………（12分） 17、解：由题意得： ……（3分） （1）若，可得， 则 ………（6分） （2）由可得,即 ，得 ………………… …（9分） ………… … … ……（12分） 18、解： （I）由可得， …………………（1分） 式相减得 ……………………（3分） 又 ∴， ……………………（4分） 故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴． …………（6分） （II）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得， ……（8分） 故可设 又由题意可得 解得 ∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ……………（10分） ∴ ……………（12分） 19、①证明：不妨设，则，取AD的中点F，连EF，CF。易知∽，∴ ∴ ∴BD⊥CF 又EF∥PA，PA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD 故由三垂线定理知BD⊥CE …………………………………………（6分） ②作EG⊥AD于G，过G作GH⊥AC于H，连EH，则可证∠EHG为二面角E-AC-D的平面角。 设，则， ∴，又， ∴，∴， ∴，∴， 所以存在点E满足条件，且 ………………………………（12分） 20、解:(1)因为直线4x-3y-16=0交圆C所得的弦长为, 所以圆心C(4,m)到直线4x-3y-16=0的距离等于, 即,∴m=4或m=-4(舍去). 又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点,所以右焦点坐标为F2(4,0), 则左焦点F1的坐标为(-4,0),又椭圆E过A点, 因为|AF1|+|AF2|=2a,所以2a=5,a2=18,b2=2, 故椭圆E的方程为: =1. （2） =(1,3),设Q(x,y), 则=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6. ∵x2+(3y)2≥2|x|·|3y|, 而=1, 即x2+(3y)2=18,∴-18≤6xy≤18. ∴(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36], 即x+3y的取值范围是[-6,6]. ∴=x+3y-6的取值范围是[-12,0]. 21．解：（Ⅰ） 由题意，知恒成立，即． …… （2分） 又，当且仅当时等号成立． 故，所以． ……（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则 由，得或（舍去）， ， ①若，则单调递减；在也单调递减； ②若，则单调递增．在也单调递增； 故的极小值为 ……（8分） （Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中 结合题意，有 ……（9分） ①—②得 所以由④得所以⑤ ……（11分） 设，⑤式变为 设， 所以函数在上单调递增， 因此，，即 也就是，，此式与⑤矛盾． 所以在处的切线不能平行于轴． ……（14分） | ||||||||||||||||||||||||||||||
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