第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
角的终边均在第一象限，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数周期为，其图像的一条对称轴是
，则此函数的解析式可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．设
、
都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．方程
的根存在的大致区间是（ ）

A．
　　 B．
C．
D．

6．已知向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）

A．
B． C．
D．

7．已知函数
，若方程
有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
　　 B．
C．
D．

8．设向量
，
，定义一种向量积：
．已知向量
，
，点P在
的图象上运动，点Q在
的图象上运动，且满足
（其中O为坐标原点），则
在区间
上的最大值是（ ）

A．2 B．
C．
D． 4

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：(本大题共７小题，作答６小题，每小题5分，共30分.)

（一）必做题（9～13题）

9．函数
的定义域为 。

10．图中阴影部分的面积等于 ．

11．已知函数
在是单调函数，则实数的取值范围是 。

12．如图，在矩形
中，
点为
的中点，点在边
上，若
，则
的值是 ．

13．已知函数
,在区间
内任取两个实数
,且
,若不等式
恒成立，则实数的取值范围为 。

（二）选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）

14．（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，
，则
= 。

15．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为
，曲线C的参数方程为
(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为 。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：















0













0



0



0



（1）请写出上表的
、
、
，并直接写出函数的解析式；

（2）将
的图象沿轴向右平移
个单位得到函数
的图象，、
分别为函数
图象的最高点和最低点（如图），求
的大小.

17．（本小题满分12分）

设函数

（1）求
的最大值，并写出使
取最大值时的集合；

（2）已知
中，角
的对边分别为
若
，求的最小值。

18．（本小题满分14分）

已知函数
，
，
图象与轴异于原点的交点
处的切线为
，
与轴的交点
处的切线为
，并且
与
平行。

（1）求
的值；

（2）已知实数
，求
的取值范围及函数
的最值。

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）数列
中，令
，

，求
；

（3）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数的个数称为这个数列
的变号数。令
（为正整数），求数列
的变号数．

20．（本小题满分14分）

如图，已知抛物线
的准线为
，焦点为，圆
的圆心在轴的正半轴上，圆
与轴相切，过原点
作倾斜角为
的直线，交直线
于点，交圆
于不同的两点
，且
。

（1）求圆
和抛物线
的方程；

（2）若为抛物线
上的动点，求
的最小值；

（3）过直线
上的动点
向圆
作切线，切点分别为
，求证：直线
恒过一个定点，并求该定点的坐标．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
，
是常数．

（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（2）若函数
图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；

（3）证明：
，存在
，使
．

汕头市金山中学2014-2015学年度第一学期高三期中考试

理科数学 参考答案

（2）将
的图像沿轴向右平移
个单位得到函数
……………………7分

因为、
分别为该图像的最高点和最低点，所以
…………………………8分

所以
…………………………………………………………………………………9分

……………………………………………………………………………………………10分

…………………………………………………………………11分

所以
……………………………………………………………………………………………12分

法2：

法3：利用数量积公式
，
。

17．（本小题满分12分）

解：（1）

……………………………………………………3分

的最大值为…………………………………………………………………………………4分

要使
取最大值，

故的集合为
……………………………………………………………6分

注：未写“
”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.

（2）由题意，
，即

化简得
……………………………………………………………………………8分

，
，只有
，
………………………9分

在
中，由余弦定理，
………………………10分

由
知
，即
，……………………………………………………11分

当
时，取最小值
………………………………………………………………………12分

注：不讨论角的范围扣1分.

18．（本小题满分14分）

解：（1）
图象与轴异于原点的交点
，
……………………1分

图象与轴的交点
，
………………………3分

由题意可得
， 即
………………………………………………………4分

， …………………………………………………………………………………………5分

∴
，
…………………………………………………………6分

（2）
，当
时，
， ……………………………………………7分

∴
在
单调递增，
………………………………………………………8分

图象的对称轴
，抛物线开口向上 …………………………10分

由
有
，即函数在
上单调递增 ………………………………………11分

………………………………………………………………………………12分

……………………………………………………………………13分

综上：当
时，
；
…………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）
，∴
………………………………………………………………1分

又当
时，
………………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………………………4分

（2）∵
，∴
，………………………………………………………5分

………………………………………………………………6分

，∴
…………………9分

（3）解法一：由题设
……………………………………………………10分

∵
时，
，

∴
时，数列
递增…………………………………………………………………………12分

∵
，由
，可知
，即
时，有且只有个变号数；

又∵
，即
，∴此处变号数有个．……………13分

综上，数列
共有
个变号数，即变号数为
。…………………………………………14分

解法二：由题设
……………………………………………………………10分

时，令
；又∵
，∴
时也有
．…………………………………………………13分

综上得：数列
共有
个变号数，即变号数为
。 …………………………………14分

20．（本小题满分14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）
……………………………………………………………………1分

，
……………………………………………………………………2分

函数
的图象在点
处的切线为
，即
……………………………………………………………………………………4分

（2）①
时，
，因为
，所以点
在第一象限，依题意，
…………………………………………………………………………5分

②
时，由对数函数性质知，
时，
，
，从而“
，
”不成立 ………………………………………………………………6分

③
时，由
得
，设
，











－









↘

极小值

↗





，从而
，
……………………………8分

综上所述，常数的取值范围
…………………………………………………………9分

（3）直接计算知
…………………………………………………10分

设函数
…………………………………11分

，

当
或
时，

，

因为
的图象是一条连续不断的曲线，所以存在
，使
，即
，使
；…………………………………………………………………………12分

当
时，
、
，而且
、
之中至少一个为正，由均值不等式知，
，等号当且仅当
时成立，所以