邹城市第一中学2015届高三10月月考

数学（理）试题

一、选择题：每小题5分，共10题，50分．

1．已知集合
＝{0,1, 2,3} ，集合
，则
=（　　　）

A．{ 3 } B．{0，1，2} C．{ 1，2} D．{0，1，2，3}

2．若
，则
（　　　）

A．
B．
C．
D．

3．函数
的定义域为（　　　）

A.
B.
C.
D.

4．已知函数
，
，若
，则
（　　　）

A.1 B. 2 C. 3 D. -1

5．已知
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则
（　　　）

A.
B.
C. 1 D. 3

6．已知集合
={2，0，1，4}，
={
|
，
，
}，则集合
中所有元素之和为（　　　）

A．2 B．-2 C．0 D．

7．曲线
在点（1,1）处切线的斜率等于 （　　　）

A．
B．
C．2 D．1

8．若
则
（　　　）

A.
B.
C.
D.1

9．下列四个图中，函数y=
的图象可能是（　　　）









A

B

C

D



10．如图所示的是函数
的大致图象，则
等于（　　　）

A．
　　B．
　　 C．
　　D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：每小题5分，共5题，25分．

11．物体运动方程为
，则
时瞬时速度为

12．已知
=
是奇函数，则实数
的值是 　

13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为
，拱高为
，其面积为____________．

14．不等式
的解集为____________．

15．已知
为
上增函数，且对任意
，都有
，则
____________．

三、解答题：共6小题，75分．写出必要文字说明、证明过程及演算步骤.

16．(本小题满分12分)

已知函数
的定义域为
，函数

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）若
是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式
的解集.

17．(本小题满分12分)

已知曲线
在点
处的切线
平行直线
，且点
在第三象限.

（Ⅰ）求
的坐标；

（Ⅱ）若直线
, 且
也过切点
,求直线
的方程.

18．（本小题满分12分）

若实数
满足
，则称
为
的不动点．已知函数
，

其中
为常数．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）若存在一个实数
，使得
既是
的不动点，又是
的极值点．求实数
的值；

19．（本小题满分12分）

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
（升）关于行驶速度
（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

20．(本小题满分13分)

已知函数

,函数

（Ⅰ）当
时,求函数
的表达式;

（Ⅱ）若
,函数
在
上的最小值是2 ,求
的值;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求直线
与函数
的图象所围成图形的面积.

21．（本小题满分14分）

设关于
的方程
有两个实根
，函数
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）判断
在区间
的单调性，并加以证明；

（Ⅲ）若
均为正实数，证明：

数学试题（理）参考答案

一、选择题：BBCAC BCBCC

二、填空题：11．
　　12．　-1　　3．
　　14.｛x|x<-1或x>2｝　　15．10

13．建立平面直角坐标系，求出抛物线方程积分即可．2-2课本P60原题．

14．原不等式等价于
设
，则
在R上单调增.

所以，原不等式等价于

所以，原不等式解集为｛x|x<-1或x>2｝

15．依题意，
为常数。设
，则
，
。

∴
，
。易知方程
有唯一解
。

∴
，
。

三、解答题：

16．解：

（Ⅰ）由题意可知：
，解得
…………………………3分

∴函数
的定义域为
………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由
得
≤
，　　　∴

又∵
是奇函数， ∴
…………………………………8分

又∵
在
上单调递减，∴
………………11分

∴
的解集为
………………………………………………………………12分

17．解

（Ⅰ）由
，得
，…………………………………………………………2分

由
平行直线
得
，解之得
.

当
时，
; 当
时，
.…………………………………………4分

又∵点
在第三象限, ∴切点
的坐标为
……………………………………6分

（Ⅱ）∵直线
,
的斜率为4, ∴直线
的斜率为
, ………………………………8分

∵
过切点
,点
的坐标为 (－1,－4)

∴直线
的方程为
………………………………………………………11分

即
…………………………………………………………………………12分

18．解：

（Ⅰ）因
，故
． ………………………………………1分

当
时，显然
在
上单增； …………………………………………………………3分

当
时，由知
或
． ………………………………………5分

所以，当
时，
的单调递增区间为
；

当
时，
的单调递增区间为
，
…………………………6分

（Ⅱ）由条件知
，于是
，………………………………………8分

即
，解得
……………………………………………11分

从而
． ……………………………………………………………………………12分

19．解

（Ⅰ）当
时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，…………………………………2分

要耗油
………………………………………4分

答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升……………………5分

（Ⅱ）当速度为
千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时，设油耗为
升，

依题意得

　（
）…7分

方法一则
　　　（
）……………………………8分

令
，解得
，列表得

（0，80）

80

（80，120]





－

0

＋





↘



↗



………………………10分

所以当
时，
有最小值
．…………………………………………………11分

方法二

…………………………8分

＝11.25………………………………………10分

当且仅当
时成立，此时可解得
………………………………11分

答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．…12分

20．解

（Ⅰ）∵
,

∴当
时,
，

当
时,
,
.

∴当
时,函数
.…………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知当
时,
,

∴当
时,
当且仅当
时取等号.

∴函数
在
上的最小值是
,

∴依题意得
∴
.…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）由
解得

∴直线
与函数
的图象所围成图形的面积

=
………………………………………13分

21．解：

（Ⅰ）∵
是方程
的两个根，　∴
，
， ……………1分

∴
，又
，∴

，………3分

即
，同理可得

∴
＋
……………………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵
，…………………………………………………………………6分

将
代入整理的
……………………………………7分

又
，∴
在区间
的单调递增; ………………………8分

（Ⅲ）∵

，

∴
…………………………………………………………………………10分

由（Ⅱ）可知
，同理

…………………………………………12分

由（Ⅰ）可知
，
，
，

∴

∴
……………………………………………14分