2015届七校联考高三文科数学试卷

命题人：中山一中

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分为150分，考试用时为120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、已知全集
，集合
，
，则
等于（　 ）

A.
　 　B.
　　C.
　　　　D.

2、已知为虚数单位，复数
的模
（　 ）

A. 1　　　　　 B.
　　　　　 C．
　　　　　　 D.3

3、在等差数列
中，已知
，则
（　 ）

　 A. 7　　　　　B. 8　　　　　　C. 9　　　　　　　　D. 10

4、设
是两个非零向量，则“
”是“
夹角为锐角”的（　 ）

A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打

出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，

所剩数据的平均数和方差分别为（　 ）

A.5和1.6　　　B.85和1.6 C. 85和0.4 　　D. 5和0.4

6、如果直线
与平面
满足：
那么必有（ ）

A.
B.
C.
D.

7、如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）

和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该

几何体体积为（　 ）

A．
B．
C．
D．

8、定义运算“
”为：两个实数
的“
”运 算原理如图所示，

若输人
， 则输出
（　 ）

A.－2 B．0 C、2 D.4

9、在长为12 厘米的线段
上任取一点
，现作一矩形,邻边长分别等

于线段
的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为（　 ）

A.
B.
C.
D.

10、如图，
是函数
图像上一点，曲线

在点处的切线交轴于点，
轴，垂足为

若
的面积为
，则
与
满足关系式（　 ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分．

11．函数
，则
＿＿＿

12. 若目标函数
在约束条件
下仅在点
处取得最小值，则实数
的取值范围是 .

13. 已知
，
，且
，则
．

14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆
的圆心到直线
的距离是

15．（几何证明选讲）如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的

延长线交⊙O于N，
，若⊙O的半径为
，OA=
OM ，

则MN的长为

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）已知向量
，
，设函数
.

（Ⅰ）求函数
单调增区间；

（Ⅱ）若
，求函数
的最值，并指出
取得最值时的取值.

17、（本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

节能意识弱

节能意识强

总计



20至50岁

45

9

54



大于50岁

10

36

46



总计

55

45

100



（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？

（2）若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？

（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

18、（本题满分14分）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，点O是对角线
与
的交点,
是
的中点,
.

（1）求证：
平面
; （2）平面
平面

（3）当四棱锥
的体积等于
时,求
的长.

19、（本题满分14分）已知等差数列
的公差为
, 且
,

（1）求数列
的通项公式
与前项和
；

（2）将数列
的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前3项,记
的前项和为
, 若存在
, 使对任意
总有
恒成立, 求实数
的取值范围

20、（本题满分14分）已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于
两点，且直线与轴交于点

(1)求证：
成等比数列；

(2)设
，
，试问
是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

21、（本题满分14分）设函数
（
），
．

(1) 若函数
图象上的点到直线
距离的最小值为
，求的值；

(2) 关于的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(3) 对于函数
与
定义域上的任意实数，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

2015届七校联考文科数学答案

ACDBB ABADCB 11．
12.
13.
14、1 15、2

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）解：（Ⅰ）

2分

当
，
Z， 3分

即
，
Z，

即
，
Z时，函数
单调递增， 5分

所以，函数
的单调递增区间是
，（
Z）； 6分

（Ⅱ）当
时，
，
， 8分

当
时，原函数取得最小值0，此时
， 10分

当
时，原函数取得最大值
，此时
. 12分

17、（12分）解（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，
与
相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关……3分

（2）年龄大于50岁的有
（人）……6分（列式2分，结果1分）

(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有
人…………7分

年龄大于50岁的有4人………………8分

记这5人分别为
,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下

…10分

设表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则中的基本事件有

共4种…………………11分

故所求概率为
……………………12分

18、（14分）解:（1）在
中，
、
分别是
、
的中点,

是
的中位线，
， …………1分

面
，
面
……3分

面
……4分

（2）底面
是菱形，
，……5分

面
，
面
，

…………………………6分

面
，
面
，
，……7分

面
……8分

面
，……9分

面
面
……10分

（3）因为底面
是菱形，
，所以
……11分

四棱锥
的高为
，
，得
……12分

面
，
面
，
…………………………13分

在
中,
. …………14分

19、（14分）解：(1) 由
得
，所以

， 从而
----------------------------6分

(2)由题意知
设等比数列
的公比为，则
，

随递减，
为递增数列，得

又
， 故
，

若存在
, 使对任意
总有
则
，得
-------14分

20．（14分） 解：(1)证明：设直线的方程为：
，

联立方程可得
得
①

设
，
，
，则
，②

，

而
，∴
，

即
成等比数列．

(2)由
，得

，
，

即得：
，则

由(1)中②代入得
，故
为定值且定值为－1.

21． （14分）解：（1）因为
，所以
，令

得：
，此时
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………2分

则点
到直线
的距离为
，

即
，解之得
．　　　　　　　　　　　…………4分

（2）解法一：不等式
的解集中的整数恰有3个，

等价于
恰有三个整数解，故
，　　　　　　…………6分

令
，由
且
，

所以函数
的一个零点在区间
，

则另一个零点一定在区间
，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分

故
解之得
．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………10分

解法二：
恰有三个整数解，故
，即
，…………6分

，

所以
，又因为
，　　　　　　　　　　　…………8分

所以
，解之得
．　　　　　　　　　　　…………10分

（3）设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时，
取得最小值
，

则
与
的图象在
处有公共点
．　　　　　　　…………12分

设
与
存在 “分界线”，方程为
，

即
，

由
在
恒成立，则