2015届 高三摸底考

理科数学 2014.8

命题人：普宁二中 陈左华 潮阳一中 黄绵凤

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1设集合A={
}，则满足A
B={0，1，2}的集合B的个数是( )

A 1 B 3 C 4 D 6

2.
为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+
)(2+
)的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．“
”是“函数
的最小正周期为”的（ ）

　．必要不充分条件 ． 充分不必要条件

．充要条件 ．既不充分也不必要条件

4.右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）

A． B．
C．
D．

5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

6、由曲线
围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7． 已知
是坐标原点，点
，若
为平面区域

上的一个动点，则
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

8．对于集合，如果定义了一种运算“
”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：

（ⅰ）
，都有
；

（ⅱ）
，使得对
，都有
；

（ⅲ）
，
，使得
；

（ⅳ）
，都有
，

则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：

①
，运算“”为普通加法；②
，运算“”为普通减法；

③
，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )

A①② B①③ C②③ D①②③

二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分

(一)必做题(9～13题)

9. 若
是奇函数，则实数=_________。

10.在△
中，角
的对边分别为
，且
，
．

则角的大小为 ；

11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.

若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．

12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的
个专业中，选择
个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。

13．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点

N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是

（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）

14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线
与
的公共点到极点的距离为__________

15、如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O

于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　　　 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知函数
（
）的图象过点
.

（1）求的值；

（2）设
，
求
的值.

17. (本小题满分12分)2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5



x

169

178

166

175

180



y

75

80

77

70

81



已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）。

18. （本小题满分14分）

如图6，四棱柱
的底面
是平行四边形，且
，
，
，为
的中点，
平面
．⑴证明：平面
平面
；

⑵若
，试求异面直线
与

所成角的余弦值．

19 .（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列
的前项和为
,且
.

（1）求

(2) 求数列
的通项；

(3) 若
,
，求证：
＜

20. （本小题满分14分）

已知圆C与两圆
，
外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点
的距离的最小值为，点
与点
的距离为.

(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；

（Ⅱ）求满足条件
的点
的轨迹Q的方程；

（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点
，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
。若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。

21． （本小题满分14分）

2015届 高三摸底考

理科数学答案2014.8

一、选择题：

1 C2.A3． B4. C 5. C 6、D7． A 8．B

二、填空题： 9.
，10
11．
12.180 13．

14、
15、

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.解：（1）依题意得
，
，…………2分

∵
∴
……………4分

∴
，∴
………………………5分

（2）∵
∴
，………7分

又∵
∴
，………9分

∵
，…………………

∴
，
，……10分

∴

……………12分

17. （本小题满分12分）

解：（1）乙厂生产的产品总数为
；………….2分

（2）样品中优等品的频率为
，乙厂生产的优等品的数量为
；…………4分

（3）
， ……………………..5分

，………….8分

的分布列为

0

1

2













 ……………….11分

均值
………………….12分

⒙(本小题满分14分)

⑴依题意，
……1分，所以
是正三角形，
……2分，又
……3分，

所以
，
……4分，因为
平面
，
平面
，所以
……5分，因为
，所以
平面
……6分，

因为
平面
，所以平面
平面
……7分．

⑵取
的中点，连接
、
……8分，连接
，则
……9分，所以
是异面直线
与
所成的角……10分。

因为
，
，所以
……11分，

，
……12分，

所以
……14分（列式计算各1分）．

（方法二）以为原点，过且垂直于
的直线为轴，
所在直线为轴、
所在直线为建立右手系空间直角坐标系……1分，

设
（
），则
，
，
，
……3分．

⑴设平面
的一个法向量为
，则
…4分，

，取
，则
，从而
……5分，

同理可得平面
的一个法向量为
……7分，

直接计算知
，所以平面
平面
……8分．

⑵由
即
……9分，

解得
……10分。

……11分，

……12分，

所以异面直线
与
所成角的余弦值
……14分．

注：由于给分板按方法一设置，即第⑴问7分，第⑵问7分。若学生按方法二答题，得分
时，得分记在第⑴问；得分
的部分，记在第⑵问。

19解：（1）令
，得
，
………2分

(2)又
………①

有
…………　②……………………3分

②-①得
…………………4分

∴
……………………6分

∴
…………………………8分

(3)n=1时
=1＜
符合………………………9分

时，因为
,………………………………11分

所以

………….13分

∴
＜
…………………………14分

第二问方法不唯一，请酌情给分

20．（本小题满分14分）

解：（1）
，……1分

椭圆
的方程为
.……3分

20.（本小题满分14分）

解析：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为
、
，由题意得
，可知圆心C的轨迹是线段
的垂直平分线，
的中点为
，直线
的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段
的垂直平分线方程为
，即圆C的圆心轨迹L的方程为
。(4分)

（Ⅱ）因为
，所以
到直线
的距离与到点
的距离相等，故点
的轨迹Q是以
为准线，点
为焦点，顶点在原点的抛物线，
，即
，所以，轨迹Q的方程是
(8分)

（Ⅲ）由（Ⅱ）得
，
，所以过点B的切线的斜率为
，切线方程为
，令
得
，令
得
，

因为点B在
上，所以

故
，

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

设
，即
得
，所以

当
时，
，当
时，
，

所以点B的坐标为
或
. (14分)

第二问答案中更正：方程有两个不等实根，第二问也可二次求导，请酌情给分。