临沂一中2012级高三上学期第二次阶段性检测题

理科数学

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1、设全集为R，函数
的定义域为M，则
( )

A．
B．
C．
D．

2、下列说法错误的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．“
”是“
”的充分不必要条件

C．若
为假命题，则
均为假命题

D．命题
，使得
，则
，使得

3、若函数
为偶函数，其定义域
，则
的最小是为（ ）

A．3 B．0 C．2 D．

4、设
，则
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、已知函数
对定义域R内的任意x都有
，且当
是其导数
满足
，若
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

6、把函数
的图象向右平移
个单位，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象解析式为
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

7、下图，有一个是函数
的导函数
的图象，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．
或

8、若
是方程
的两根，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知集合
，若对于任意
，存在
，

使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个结合：

①
②

③
④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

10、已知偶数
以4为周期，且当
时，
，若在区间
内关于x的方程
恰有4个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、若两个非零向量
满足
，则向量
与
的夹角是

12、函数
的单调递增区间是

13、
均为非零实数
，若
，

则

14、设区间
，在点
处的切线与x轴的交点的横坐标为
，令
，则

则
的值为

15、给出下列四个命题：

①命题“
，都有
”的否定是“
，都有
”

②一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数是5；

③将函数
图象向右平移
个单位，得到
的图象；

④命题“设向量
，若
，则
”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.

其中正确命题的序号为

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）

16、已知命题
方程
在
上有解；命题
只有一个实数
满足不等式
，若命题“
”是假命题，求
的取值范围。

17、已知函数
的定义域为M。

（1）求M；

（2）当
M时，求函数
的最小值。

18、2013年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天，某小商品公司一次为契机，开发一种纪念品，每间产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售
件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为
，那么月平均销售量减少的百分率为
，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是
元。

（1）写出
与
的函数关系式；

（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售纪念品的月平均利润最大。

19、已知锐角
中的内角
的对边分别为
，定义向量
，

，且
。

求函数
的单调递增区间；

如果
，取
的面积的最大值。

20、已知函数
在点
处的切线方程为
。

（1）求
的值；

（2）对函数
定义域内的任一个实数
恒成立，求实数
的取值范围。

21、已知函数

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若在y轴的左侧，函数
的图象恒在
的导函数
的图象的上方，求k的取值范围；

（3）当
时，求函数
在
上的最小值
。

高三上学期阶段性教学诊断测试

数学（理科）参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1． D 2． C 3． D 4． B 5． C

6． B 7． B 8．A 9． D 10． D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．
12 .
或写为
13. 2.

14．－2 15. (1)(4)

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16．解：由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，

∴当命题p为真命题时，≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.

又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.

∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.

∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.

∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.

即a的取值范围为{a|a>2，或a<－2}．

17．解：（1）由题意，
，解得1≤x≤2，∴M=（1，2]；（2）令t=2x（t∈（2，4]），f（x）=g（t）=-4at+3t2=3（t+
）2-
1°-6＜a＜-3，即2＜-
＜4时，g（t）min=g（-
）=-
；2°a≤-6，即-
≥4时，g（t）min=g（4）=48+16a∴f（x）min=
．

18.解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x2)件，

则月平均利润为y＝a(1－x2)·[20(1＋x)－15]元，

所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0

(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，

所以当00；当

所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0

故改进工艺后，纪念品的销售价为20×＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．

19.

20.解：(1)由f(x)＝?f′(x)＝

而点(1，f(1))在直线x＋y＝2上?f(1)＝1，又直线x＋y＝2的斜率为－1?f′(1)＝－1

故有?

(2)由(1)得f(x)＝(x>0)

由xf(x)

令g(x)＝?g′(x)＝

＝

令h(x)＝1－x－ln x?h′(x)＝－1－<0(x>0)，故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，

故当0h(1)＝0，当x>1时，h(x)

从而当00，当x>1时，g′(x)<0

?g(x)在(0,1)是增函数，在(1，＋∞)是减函数，故g(x)max＝g(1)＝1

要使1

故m的取值范围是(1，＋∞)．

21．